Coronavirus : quelle ampleur pour l’épidémie ?

Dans le prolongement de mon interview dans Le Point, je me suis penché un peu plus sur les aspects mathématiques de l’épidémie de Covid-19. Cette dernière donne incontestablement à voir une peur exponentielle (le terme d’exponentielle a été souvent prononcé), avec ses excès et ses incompréhensions. L’exemple du coronavirus permet ainsi d’illustrer la mécanique d’une peur de ce type. L’analyse mathématique permet aussi d’évaluer le risque d’épidémie majeure (spoiler : il me semble très très faible), ainsi que de mettre au jour divers biais de présentation au sujet de la diffusion de la maladie.
Pour commencer cette série d’articles qui s’étalera sur la semaine, à tout seigneur tout honneur : place au modèle exponentiel pour analyser ce qui se passe en Chine, le pays d’où l’épidémie est partie étant l’endroit le plus important à considérer pour tenter comprendre.

Une épidémie comme celle qui a frappé en Chine peut tout d’abord se représenter de façon simple en supposant que chaque malade est susceptible de contaminer un certain nombre de personnes par unité de temps (disons la semaine, pour simplifier). En partant d’un cas initial au temps zéro, et en supposant par exemple un doublement du nombre de malades par semaine, le nombre de personnes infectées va progresser selon la suite des puissances de 2 :

1 2 4 8 16 32 64…

(NB : dans cette série d’articles on ne distinguera pas entre malades et simples porteur du virus ; ce qui nous intéresse ici est qu’un porteur est susceptible de transmettre le virus à d’autres personnes.)

Ce que cette croissance a de particulier (qui est expliqué en long et en large dans mon bouquin sur le sujet), c’est qu’elle est d’une rapidité extrême, alors même que les premières valeurs ne le laissent pas vraiment prévoir. Au rythme de l’exemple théorique précédent, il ne faudrait que 26 semaines, soit la moitié d’une année, pour que tous les habitants de la province du Huwei (58 millions de personnes) soient contaminés. Plus étonnant encore : un peu plus d’un mois plus tard toute la Chine serait atteinte, et à la fin du mois suivant la Terre entière.

La modélisation exponentielle requiert la connaissance de deux valeurs : le nombre a de personnes contaminées au temps zéro (ou, de façon équivalente, à un instant donné connu) et le facteur de croissance r à appliquer pour passer d’un temps au suivant. (Ce second facteur est la raison de la suite.) Dans l’exemple précédent on avait a=1 et r=2, mais en pratique ce sont les chiffres de l’épidémie ellle-même qui doivent permettre de les déterminer.

Pour r, c’est très simple sur le papier : il suffit de diviser le nombre de malades au temps n par le nombre de malades au temps n–1. Dans l’exemple théorique précédent, on calculerait ainsi 32/16, ou bien 64/32, etc. (ce qui donne bien toujours 2). La réalité montrera bien sûr des fluctuations, qui conduira à retenir pour r une valeur moyenne. Pour en venir à un exemple plus concret, voici un tableau récapitulatif des cas recensés quotidiennement en Chine pendant les deux premières semaines de l’épidémie (du 22 janvier au 4 février), ainsi que, sur la deuxième ligne, le rapport entre chaque valeur au-dessus et celle à sa gauche. On a ainsi 639/547 = 1,1682, puis 916/639 = 1,4335, et ainsi de suite. (Toutes les données utilisées dans cette série d’articles sont celles de l’université Johns Hopkins en accès libre ici, qui sont actualisées chaque jour.)

547639916139920622863549460708124978311871166071969323680

1,16821,43351,52731,47391,38851,91901,10481,33841,20421,21341,39901,18581,2025
(faire glisser à droite pour voir toutes les données du tableau)

Sans surprise, d’un jour à l’autre les rapports sur la seconde ligne fluctuent. Ils demeurent toutefois dans une fourchette relativement resserrée d’une manière générale, comme illustré ci-dessous où chaque croix rouge correspond à une des rapports :

Un compromis pour r est la valeur 1,336, qui s’obtient par un calcul de moyenne un peu particulier. (Pour les connaisseurs : il s’agit d’une moyenne géométrique, qu’on peut obtenir en calculant la racine treizième du quotient 23680/547.) Bien sûr, comme il s’agit d’une moyenne, il ne faut pas être surpris que r ne soit pas un entier.

Pour la valeur a, les choses sont paradoxalement un peu plus difficiles. D’abord, on ne connaît en général pas bien le nombre de malades au tout début de l’épidémie. De plus, les fluctuations statistiques font que la valeur de a, même bien connue, n’est pas forcément la meilleure à prendre pour faire coller les données au modèle exponentiel.

Nos valeurs de a et de r étant déterminées (j’ai retenu la valeur 650 pour a), on peut comparer le modèle exponentiel (la courbe rouge) aux données réelles (la ligne brisée verte) :

Pas trop mal, hein ? C’est là un beau succès du modèle exponentiel, au point qu’il est tentant de s’enhardir : puisqu’il décrit si bien les données du passé, pourquoi ne pas prolonger la courbe et ainsi prédire l’avenir ? C’est de cette idée que naît la peur exponentielle. En effet, en prolongeant la courbe inconsidérément vers l’avenir, on a tôt fait de contaminer la Chine, puis la Terre entière, en seulement quelques mois.

En supposant une mortalité de 1 % ou 2 % comme les données le suggèrent pour le coronavirus, ce serait ainsi 1 % ou 2 % de la population mondiale, c’est-à-dire plusieurs dizaines de millions de personnes, qui seraient susceptible de mourir du Covid-19 en quelques mois. Racontez cela en montrant des images d’hôpitaux débordés et de jeunes enfants malades : vous passerez pour un expert apeuré, c’est-à-dire quelqu’un de sérieux qui regarde en face sans broncher le cavalier de l’apocalypse. De quoi inspirer confiance les yeux fermés, donc…

Heureusement, dans la réalité les courbes exponentielles ne se prolongent jamais si longtemps. On s’en rend compte immédiatement en regardant ce qu’a été l’évolution du nombre de cas répertoriés en Chine (ligne brisée verte, ici jusqu’au 27 février).

Cette courbe montre les limites de l’intérêt de notre courbe exponentielle en rouge : non, le nombre de malades n’a pas « explosé » comme le prévoyait l’extrapolation naïve précédente. Une inflexion s’est rapidement produite, faisant complètement diverger le réel de son modèle.

Un élément notable dans la ligne brisée verte est le spectaculaire rebond qu’elle montre au jour 22. Celui-ci s’explique par un changement de méthodologie opéré ce jour-là par les autorités sanitaires chinoises dans leur façon de comptabiliser les malades. C’est l’occasion de rappeler qu’une série de données n’est pas une vérité révélée mais le produit d’un travail humain, donc toujours susceptible d’imperfections et de réinterprétations.

L’artefact de ce décrochage est toutefois secondaire dans la tendance générale au tassement. L’évolution est rassurante, et même très rassurante : le virus ne parvient plus vraiment à progresser en Chine. Certains médias ont beau en rajouter en signalant les « centaines de nouveaux cas quotidiens » en Chine, ceux-ci ne font que prolonger le ralentissement devenu très net depuis la mi-février.

Observer quelques centaines de cas supplémentaires un jour donné n’avait pas du tout le même sens, en revanche, au début de l’épidémie chinoise. En effet, à ce moment-là la question se posait de savoir sur quels rails exponentiels l’épidémie allait nous placer — et donc quel serait le niveau final à redouter. À présent toutefois, les choses sont bien différentes : non seulement les nouveaux cas chinois sont peu nombreux en regard des 80 000 cas répertoriés, mais ils montrent déosormais que le virus s’essouffle. Tempérons notre soupir de soulagement en nous souvenant que nous parlons d’individus qui souffrent et peuvent mourir, mais il n’en reste pas moins que, du point de vue général, les choses s’améliorent.

On peut regretter le caractère tardif des éléments de communication sur cet aspect. Celui-ci ne commence que maintenant à être rapporté ici ou là, et encore de façon fort discrète. Bien sûr, nul ne dispose d’une boule de cristal permettant d’être définitif sur ce qui va se passer, mais tout de même : l’inflexion de la courbe s’est amorcée au début du mois de février, et le tassement est lisible depuis près de deux semaines. Enfin, l’allure de la courbe est celle d’une fonction mathématique bien connue, utilisée depuis longtemps pour modéliser des phénomènes de ce genre. Si l’optimisme (prudent, comme tout optimisme) peut être de mise, c’est aussi parce qu’il semble bien que nous soyons ici en terrain mathématique connu. Rendez-vous demain pour la suite de son exploration.

35 réflexions au sujet de « Coronavirus : quelle ampleur pour l’épidémie ? »

  1. Bonjour benoît et merci pour cette série déjà fort intéressante. J’ai une petite question d’ordre mathématique. Le jour 22 de la ligne verte est un point singulier : il est possible de tracer deux tangentes en ce point, l’une de faible pente et l’autre de pente plus grande. Comment d’un point de vue mathématique peut-on définir ce point ? s’agit-il d’une discontinuité de la courbe ?

    J'aime

    • Bonjour Thierry,
      On n’a pas vraiment affaire à une courbe mais à une suite de points. En un sens il y a une discontinuité, oui, puisque les points jusqu’au jour 21 ne sont pas « là où ils devraient être ». La demi-tangente à gauche du jour 22 n’a donc pas vraiment de sens.

      J'aime

  2. C’est beau les maths mais ce sont les mesures vigoureuses des autorités chinoises qui sont responsables de cette inflexion de la courbe. Elles ne changent en rien la virulence du phénomène de propagation.
    Dès que la vigilance sanitaire tombera la progression du nombre de cas reprendra.
    La seule espérance c’est qu’un élément extérieur (le printemps ?, un vaccin ? une mesure sanitaire permanente ?) enraye le phénomène.

    J'aime

      • Oui, le confinement fait partie des facteurs limitants (je n’ai pas dit le contraire, c’est juste que ce n’est pas l’objet de cet article). Ce n’est toutefois sûrement pas le seul. Quand on pourra comparer les courbes de différents pays ayant eu des politiques différentes (par choix ou par nécessité, tout le monde n’ayant pas les moyens d’un confinement drastique comme en Chine), on pourra peut-être évaluer l’importance relative des différents facteurs.

        J'aime

  3. Il me semble que vous occultez un point important : Les mesures extraordinairement drastiques que les autorité chinoises ont prises quasiment au début de l’épidémie . Ceux sont ces mesures qui ont permis d’obtenir le tassement dont vous parlez, pas les caracteristiques propres du virus . Et ces mesures ont un cout faramineux …
    Il est lá le probléme ( en plus de la panique injustifiée au niveau individuel) .
    Aujourd’hui pour arreter la pandémie , il y a grosso modo deux solutions :
    > On confine tout le monde —> mais cela n’est pas tenable économiquement
    > On laisse le virus se developper jusqu’á ce qu’entre 40 á 70 % de la population mondiale ait été infectée Alors le virus n’a plus assez de nouveaux individus « sains » pour continuer á se propager—> mais lá outre le nombre de morts trés important , c’est surtout l’effondrement de nos systémes de santé qui posera probléme . Si 5% des patients necessitent une hospitalisation ( chiffre en cours ) , alors en France , pour seulement disons 3 millions de malades cela représente 150 000 hospitalisation d’urgence ICU ….. On a 5000 lits disponible ICU .

    Désolé , mais je ne trouve pas cela si rassurant . Si á titre individuel, j’évalue le risque assez faible, voire trés faible ( -50 ans , en bonne santé) , le risque systémique est réel .

    J'aime

    • Vous devriez relire le fondement mathématique, ce n’est pas du tout ce qui semble s’annoncer, bien au contraire. Après ce n’est qu’une prévision et il est toujours possible d’imaginer, de prédire bien pire.
      Mais ne pas oublier d’être réaliste, grosso modo 5000/8000 morts par an la grippe en France, et pourtant beaucoup de personnes refusent de se faire vacciner.

      J'aime

      • Ils ne se font pas vacciner parce que strictement RIEN ne suggère que le vaccin soit bénéfique. Et ce vaccin fait dans la précipitation a des risques bien connus.

        Bref, ils sont RATIONNELS, au contraire de vous.

        J'aime

  4. Cela me rappelle une conférence sur le changement climatique faite par un « hérétique », qu’il serait plus juste de qualifier de « climato-réaliste », qui introduisait soin exposé en rappelant des notions, en principe basique, de mathématiques.
    D’abord la moyenne, qu’est-ce et surtout est-elle toujours pertinente (au hasard, température « moyenne » du globe…)
    Ensuite l’exponentielle, qui, la plupart su temps, dans le monde réel, se transforme en « logistique », c’est à dire au début comme une exponentielle, puis un point d’inflexion (comme sur la courbe verte ci-dessus) pour arriver à une asymptote, voire un déclin, en gros une « courbe de vie des produits » chère au marketing.

    J'aime

  5. Il semble bien qu’en France nous soyons aussi sur une tendance de 30% de cas supplémentaires par jour comme au début de la cri en Chine. Le point clef dans une épidémie se transmettant par contact proche est que la diffusion se fait en fonction de la probabilité d’interaction « efficace ». Si on réduit les interactions (confinement etc…) on freine l’explosion critique. Mais les interactions efficaces peuvent aussi diminuer spontanément. Par exemple si un individu a déjà rencontré le virus et l’a vaincu sans avoir de symptômes significatifs, il est bien évident qu’il n’a plus à craindre d’autres interactions. Une épidémie s’éteint donc naturellement quand une proportion suffisante de la population est immunisée. Il n’est pas impossible que l’on en soit déjà là dans la zone foyer initiale. Les chinois n’ont pas les moyens de faire des tests biologiques à très grande échelle et se contentent donc de compter ceux qui ont des symptômes graves (pneumonie) il est donc vraisemblable qu’ils laissent passer tous les cas bénins et que donc la population ayant développé des anticorps est infiniment plus grande que les cas avérés.
    La progression de l’immunité dans la population est un mécanisme essentiel pour faire baisser le coefficient de l’exponentielle.

    J'aime

    • Les chinois ont parfaitement les moyens de réaliser les tests biologiques comme ils ont les moyens de réaliser des prouesses dans la gestion de cette épidémie. Je suis plus circonspect sur notre capacité à gérer aussi efficacement la situation avec un nombre limité de lits d’hôpitaux ad hoc et une population qui a tendance à courir comme des poulets sans tête à la moindre grève dans une raffinerie. Or, le taux de mortalité est directement corrélé à la capacité de prise en charge sanitaire comme dans le cas d’autres infections virales. Sur ce point, il semble d’ailleurs qu’il y ait une grande fluctuation comme pour l’Iran, si les chiffres sont fiables, qui avoisine les 10% de décès. Quant à l’immunité des populations, on ne connait pas le taux de mutation. Les personnes guéries pourraient très bien ne pas être immunisées en cas de variation trop important du matériel génétique de ce virus dont la famille est réputée mutagène. Bref, on en sait rien mais l’histoire tend quand même à votre hypothèse.

      J'aime

  6. Très bien, Benoît. Si on ajuste une loi exponentielle avec l’ensemble des données, on trouve N = No*EXP(0.2898*t). Dans ces conditions, on voit bien que les jours 12 à 14 sont déjà dans la partie verte. Votre équation est un peu plus pessimiste. Je trouve après 14 jours 22799 et vous
    28080.
    Il est clair que les mesures de confinement jouent un rôle sur cette dérive vers le bas mais il y a aussi le nombre de personnes guéries et dont on ne parle pas et qui font barrage au virus. Sans les mesures de confinement, il y aurait néanmoins un équilibre, sans doute plus tard, entre les nombres de personnes atteintes et le nombre de personnes guéries. A la limite, le virus disparaît.

    J'aime

    • Je vous fait confiance pour une courbe mieux calculée. J’ai tout fait à l’œil pour me dispenser d’avoir à entrer dans des détails qui auraient été distractifs (étant entendu qu’il est de toute façon présomptueux d’espérer faire des prévisions plus précises que de simples ordres de grandeur). Pour bien faire les choses dans le modèle exponentiel initial, une façon plus standard aurait été de prendre le logarithme du nombre de cas, de faire une régression linéaire, et de repasser aux exponentielles. Est-ce ce que vous avez fait ?

      J'aime

  7. Quelles que soient les mesures médicales individuelles ou de santé publique, la courbe aura toujours la même forme générale, celle universelle d’une courbe de Gauss, que tous les étudiants en médecine connaissent par cœur. La seule différence sera le déplacement vers la droite de la courbe et sa plus ou moins grande hauteur. C’est sans doute ce qui faisait dire au radsoc Henri Queuille, médecin, qui s’était fait une spécialité des petites phrases: « Il n’est pas de problème dont une absence de solution ne finisse par venir à bout. » Ceci dit, que cela ne vous empêche pas de prendre de la chloroquine (500mg par jour pendant 10 jours, sous prescription médicale après examen des contre-indications) en cas d’infection pour réduire vos chances de figurer… sur la courbe. (Note: Le professeur Didier Raoult est climato-réaliste. Oh! le méchant…)

    J'aime

    • Bonjour,
      Dans son blog, J.Henri, consommateur forcé de Nivaquine car infecté depuis longtemps par le plasmodium, aborde le sujet à propos du covi-19, et est d’un tout autre avis :

      « prendre 500 mg en une prise le premier jour pour non seulement faire chuter la fièvre mais aussi tuer les Plasmodium circulants dans le sang vous rend tellement malade qu’il est difficile de se lever de son lit pour satisfaire des besoins naturels me paraît être une vue de l’esprit pour traiter un malade qui souffre de cette grippe à coronavirus. De plus j’ai cru comprendre qu’il fallait administrer 2 fois 500 mg de chloroquine chaque jour pendant 10 jours ! pour soi-disant traiter cette grippe. C’est n’importe quoi ! Un gramme par jour représente presque les deux tiers de la dose létale. Pourquoi ? Parce qu’avec de telles doses que je qualifierais d’extravagantes la température du corps diminue tellement, jusqu’à 35 degrés (je n’ai jamais testé !), qu’on se trouve dans un état tout simplement comateux profond. »

      https://jacqueshenry.wordpress.com/

      J'aime

      • La dose dangereuse de chloroquine est chez l’adulte à partir de 2g en une prise, et chez l’enfant à partir de 25mg/kg de poids corporel en une prise. Le Vidal ne mentionne pas l’hypothermie dans les effets indésirables. Les contre-indications sont: allergie à la chloroquine ou au blé et rétinopathie déjà présente. Parmi les effets indésirables, les rétinopathies sont exceptionnelles et ne concernent que les traitements au long cours (au moins 5 années). Pour le traitement du paludisme, la posologie curative chez l’adulte de plus de 60kg est pour le 1er jour: 600mg en 1 prise puis 300mg 6 heures plus tard. La posologie recommandée par les équipes chinoises paraît donc tout à fait raisonnable. Pour plus de renseignements, aller sur le site méditerranée-infection.com pour prendre connaissance des informations données par Didier Raoult. Jeter ainsi le discrédit sur un médicament qui a été massivement utilisé dans le monde est très surprenant.

        J'aime

    • Je suis très circonspect quant à tout ce qui touche au paludisme, rappelons-nous que jadis le paludisme servit à contenir la syphilis; et parce que l’inventeur de cette thérapie, qui glana un prix Nobel, vira hitlérien, dans le grand âge, cette « invention » tomba dans l’oubli, la pénicilline aidant… Ma scolarité eut été moins blessée, lors des appels, si ce souvenir positif était resté vivace.

      J'aime

  8. « Enfin, l’allure de la courbe est celle d’une fonction mathématique bien connue, utilisée depuis longtemps pour modéliser des phénomènes de ce genre. » J’aurais bien voulu un poil plus d’explication ou plus de précision plutôt que ce cliffhanger 🙂

    Peut-être dans la suite?

    J'aime

    • Peu importe les détails, ce n’est que des mathématiques très élémentaires. Le point clef est que l’on ne rencontre que très rarement des exponentielles dans la nature, elle se brisent très vite lorsque l’on s’éloigne des quasi équilibres. Le plus souvent on a des phénomènes oscillant (ce qui est aussi proche d’une exponentielle mais complexe). On retrouve aussi très souvent des évolutions en forme de cloche (ou en forme de S si l’on fait des cumuls dans le temps). Je préfère personnellement réserver le terme modélisation à une explication mécaniste. Un simple ajustement de courbe n’est pas vraiment un modèle, tout au plus une façon de quantifier un paramètre sous-jacent quand on a déjà un modèle qui dit dans quelle famille de fonctions il faut faire l’ajustement.

      J'aime

  9. Puisque certains croient en la puissance de la Chloroquine, je me permets de rappeler que le virus du rhume comme celui de la grippe sont de la même famille des coronavirus. Je ne suis pas virologue mais généticien ; j’ai toujours été intéressé par les résultats de Lwoff, Jacob et Monod, titulaires du prix Nobel pour leurs travaux sur l’opéron lactose. Plus tard, Lwoff a montré que le virus du rhume pouvait être tué très facilement par des inhalations avec l’eau très chaude. Je pense qu’il en est de même avec ces virus dont la membrane est prise sur la membrane cellulaire de l’hôte. Elle ne résiste pas, ni à la température humide, ni à la sécheresse. Cela vaut sans doute mieux que le chloroquine. Et personne n’en parle parce que cela ne coûte rien.

    J'aime

  10. Le coronavirus butte sur les limites d’un monde fini.

    Il y a des limites physiques qui empêchent un développement exponentiel. Si le monde était en forme de tube (d’un diamètre de 2m) et non de boule, la progression serait linéaire. Donc la géographie importe à cause des goulot d’étranglement qui empêchent la propagation de la maladie. Moins au début qu’à la fin. Si on a une sphère, je suppose qu’une des limites de la progression est le rapport volume/surface. La surface augmentant moins vite que le volume.

    J'aime

  11. Pour faire suite à l’échange entre Thierry Piou et Benoît sur la rupture de série du 11/02/2020. Supposons que la discontinuité soit un artefact et résulte simplement d’un changement de méthode de comptabilisation des malades. On voit alors que le nombre de malades a été brusquement multiplié par un coefficient de l’ordre de 1,35. On peut alors appliquer par homothétie ce coefficient à la série de chiffres antérieurs au 11/02/2020 et conserver les chiffres publiés après cette date. On obtient la courbe ci-dessous, qui serait ainsi de forme logistique.

    Simple exercice.
    Michel

    J'aime

  12. Il y a un domaine dont on ne parle jamais à propos de cette épidémie, et qui me parait primordial, c’est celui des transports en commun. Si on est soucieux de limiter la propagation de la maladie en fermant les écoles, en interdisant les évènements sportifs, etc. , comment peut-on raisonnablement tolérer que des individus non pourvus de masques respiratoires, de combinaisons étanches aux virus (???) aillent s’entasser dans ces endroits à la propreté douteuse, respirent l’haleine à peine sortie de la bouche de leurs voisins, posent leurs mains sur les mêmes mains courantes jamais nettoyées en journée … Est-ce si dérangeant d’admettre que les transports en commun sont sans doute le plus formidable lieu de propagation des épidémies ? Vaut-il mieux mourir dans quelques décennies d’une particule de moteur diésel ou dès la semaine prochaine du coronavirus ?

    J'aime

    • Une suggestion, avancée avec une certaine gène – pour ne pas dire avec une gène certaine 😉 – par un participant à un débat sur une chaîne télé, dans la soirée : se déplacer avec sa voiture personnelle !

      J'aime

      • Et les gens que l’on va confiner dans des habitats écologiquement corrects, ultra isolés, avec un air à peine renouvelé pour garder les calories, ce qui permettra un partage démocratique et familial des miasmes, vont tous tomber malades !

        J'aime

    • Parce que les transports en commun c’est « pour les pauvres » ?
      Je dis ça, je dis rien (d’autant plus que je les utilise régulièrement et en me considère pas comme pauvre, du moins économiquement=.

      J'aime

  13. Ping : Coronavirus : l'exponentielle prend fin dans les trois principaux foyers hors de Chine | Mythes, Mancies & Mathématiques

  14. Ping : Coronavirus : décès et pyramide des âges | Mythes, Mancies & Mathématiques

Répondre

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l’aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion /  Changer )

Photo Google

Vous commentez à l’aide de votre compte Google. Déconnexion /  Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l’aide de votre compte Twitter. Déconnexion /  Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l’aide de votre compte Facebook. Déconnexion /  Changer )

Connexion à %s