Coronavirus : l’exponentielle adoucie

Nous avons vu hier une première description de l’épidémie chinoise à l’aide d’un modèle du type exponentiel-qui-fait-peur, qui montre heureusement vite ses limites. À présent, place à un modèle plus perfectionné pour mieux comprendre ce qui se passe.

Rappelons pour commencer l’allure des données sur les cas répertoriés en Chine jusqu’au 3 mars (revoici le lien vers l’ensemble des données e l’OMS) :

Le premier morceau de la courbe montre, comme nous l’avons vu hier, un comportement exponentiel. À partir du début février, une inflexion s’est produite, puis s’est accentuée au point que le nombre de cas cumulés est à peine ascendant. (Redisons aussi que le décrochage qui s’est produit au 22e jour tient à un changement de méthodologie dans le dénombrement des malades ; on n’en tiendra pas compte ici.)

Toute la question est maintenant de trouver un modèle qui rende compte de cette inflexion, ainsi que de l’asymptote horizontale qui se dessine, toutes choses que le modèle exponentiel est absolument incapable de faire. Une modèle ancien pour cela, qui a fait ses preuves, est le modèle logistique, proposé pour la première fois par Pierre-François Verhlust en 1845. Ce modèle corrige les défauts les plus manifestes du modèle exponentiel en tenant compte d’un fait important : à mesure qu’une population grandit, elle a de plus en plus de mal à grandir encore.

Verhulst s’intéressait à la population humaine, mais le fond est le même s’agissant d’un virus, de la vente d’un bien de consommation, ou même du nombre d’entrées d’un film au cinéma : dans tous les cas, après une prospérité initiale, des facteurs limitants finissent par se manifester. Pour le Covid-19 ce peut être la difficulté à trouver de nouveaux porteurs (que ce soit parce qu’il y a déjà beaucoup de personnes contaminées ou parce que celles qui n’ont pas encore été frappées sont en fait protégées par leurs défenses naturelles), ou par les mesures de protection qui sont prises et, en principe, de plus en plus drastiques à mesure de la progression de l’épidémie.

Sur les conseils de Quetelet, Verhulst a introduit une sorte de « force de frottement » à l’exponentiellle, un peu à l’image d’un mobile qui avance tout droit dans l’air ambiant et qui se trouve d’autant plus freiné par l’air qu’il rencontre que sa vitesse est importante. Si vous pédalez plus vite, vous irez certes plus vite que si vous pédalez moins vite, mais l’air exercera quand même sur vous une pression plus forte pour vous ralentir, si bien que vous avez de plus en plus de mal à accroître votre vitesse.

Pour une épidémie, l’idée est un peu la même : plus il y a de contaminés, plus il devient difficile à l’épidémie de s’étendre au même rythme qu’à ses débuts exponentiels. Mais alors qu’en mécanique la représentation du phénomène par une équation est assez naturelle (une force proportionnelle à la vitesse et de sens contraire), il n’y a pas d’équation qui s’impose naturellement pour le cas d’une épidémie. En étudiant diverses possibilités (dans le cadre de la démographie humaine, donc), Verhulst a toutefois constaté que les résultats ne différaient pas toujours beaucoup, si bien qu’il s’est finalement focalisé sur le plus simple qu’il avait trouvé. C’est celui-là que, pour des raisons obscures, il a baptisé « logistique ».

Dans le modèle logistique, au lieu de multiplier à chaque fois par une même valeur r pour passer d’un nombre au suivant, on multiplie par une valeur qui dépend du nombre de personnes déjà contaminées, et qui décroît quand le nombre de malades augmente. Plus précisément, si la population de malades un jour donné est de p, alors le modèle logistique estime le nombre de malades du lendemain en multipliant p par r(1–p/K), où r et K sont deux paramètres à choisir en fonction des données. Au début de l’épidémie, où le nombre p de malades est faible, la valeur p/K est petite (K étant choisi assez grand), si bien que 1–p/K est proche de 1, et donc qu’une multiplication par r(1–p/K) n’est pas très différente d’une multiplication par r : on est alors proche d’un modèle exponentiel. Par la suite, à mesure que p devient grand, r(1–p/K) se réduit significativement, au point d’em^êcher la population de progresser au-delà d’une certaine valeur. Voici un exemple où l’on part d’un malade initial unique, avec r = 2 et K = 100 (les valeurs indiquées sur l’axe des ordonnées sont des dizaines). On voit nettement une parenté avec la courbe chinoise.

J’en entends qui grognent dans le fond, parce ce qui précède n’est pas tout à fait correct : par souci de simplicité, les choses ont été présentées de façon séquentielle (une succession de nombres, dont chacun se calcule à partir du précédent selon une certaine règle), alors qu’en pratique le modèle logistique fonctionne plutôt sous forme continue (une courbe, et non une succession discontinue de points). La différence n’est pas énorme dans le modèle exponentiel, mais elle est immense dans le cas logistique, pour des raisons complexes qui nous emmèneraient trop loin. Contentons-nous donc de dire qu’en vrai, pour que tout fonctionne sans souci, la version continue du modèle logistique est préférable. Seul son formalisme général m’a dissuadé de le présenter comme tel, parce qu’il utilise le calcul infinitésimal. (Ouvrons donc une courte parenthèse pour les connaisseurs : dans le modèle logistique, la population y dépendant du temps t satisfait l’équation différentielle y’ = r×(1–y/K)×y. En posant z=1/y, cette équation se transforme en z’ = –rz+r/K, dont les solutions sont z(t) = c×exp(-rt) +1/K, où c est une constante.)

Le modèle logistique contient donc trois paramètres. Les deux premiers sont les mêmes que ceux du modèle exponentiel : le nombre a de cas au temps 0 et le facteur de croissance r au début de l’épidémie. Le troisième, K, s’interprète rétrospectivement comme le nombre ultime de personnes que le virus parviendra à contaminer. (NB : ça ne fonctionne que pour le modèle continu, donc ne vous étonnez pas outre mesure que dans le cas séquentiel vu plus haut la ligne brisée stagne à 50 et non à 100.) Voici un choix à l’œil nu de ces trois paramètres de sorte que le modèle épouse à peu près bien les données chinoises :

Il est remarquable qu’un modèle aussi simple fonctionne aussi bien (surtout quand on se souvient que le décrochage du jour 22 est un artefact qui, une fois corrigé, ferait encore mieux coller les données au modèle). La coïncidence est d’autant plus notable que le modèle se fonde sur des mathématiques qui ne dépassent pas de beaucoup les connaissances d’un bon bachelier des filières scientifiques.

Tout n’est pas parfait, bien sûr, et notamment sur ce qui se passe ces jours derniers, où la courbe monte un petit peu plus que pour une courbe logistique véritable. Le panorama général est toutefois assez convaincant : première victime du Covid-19, l’Empire du Milieu semble appelé à en être également le premier guéri. Tout indique que, à l’échelle chinoise, le plus gros de l’épidémie est passé.

Fin de l’histoire ? Hélas non car, comme tout modèle, le modèle logistique ne peut pas être utilisé en-dehors de son domaine de validité. Ici, seul le cas chinois a été considéré, et selon l’hypothèse implicite et contestable qu’il constituerait un tout cohérent. Or l’ensemble des cas de par le monde ne constitue pas un foyer unique, et pour étudier l’épidémie à l’échelle globale il n’est pas légitime d’agglomérer simplement les cas observés pour lui appliquer le modèle logistique. Chaque foyer d’infection est spécifique et créé sa propre courbe à étudier individuellement. (Techniquement, cela se traduit par le fait que la somme de deux fonctions logistiques n’est pas, en général, une fonction logistique, surtout quand on a affaire à des phénomènes décalés dans le temps.)

Mise à la porte par le modèle logistique, la peur exponentielle peut donc tenter de rentrer par la fenêtre en arguant de la multiplication des foyers d’infection. Pour savoir ce qu’il en est (spoiler : pas de panique), il faut analyser plus finement les données. Rendez-vous demain.