Les aventures de Virus, Logistix et Benny

Par MD

1/ Introduction.
Dans un article récent, il a été question de la fonction dite « logistique » et de ses applications – toutes théoriques – à la propagation de la pandémie de Coronavirus. On ne reviendra pas sur les considérations exposées dans ce premier article. Toutefois, il paraît utile de faire intervenir un troisième compère venu cette fois d’outre-Manche.
En effet, près de trois semaines ont passé, et l’évolution de la pandémie semble maintenant obéir à une loi différente, à laquelle on va tenter de donner une expression en géométrie analytique. Répétons à nouveau qu’il ne s’agit que d’un exercice mathématique, l’auteur de ces lignes n’ayant aucune compétence médicale ni épidémiologique.

2/ Logistix et Benny Gompertz.
Par convention, une fonction N(t) représente un nombre d’évènements cumulés recensés au temps t (en jours). La courbe logistique N(t) telle que : avait été définie par deux paramètres : T, nombre de jours entre l’origine et le point d’inflexion, et K, paramètre de forme. Cette fonction est symétrique par rapport au point d’inflexion de la courbe, qui correspond à la valeur maximale de sa dérivée, c’est-à-dire le maximum d’évènements journaliers.
Dans la pratique, beaucoup de phénomènes ne sont pas exactement symétriques. Souvent, à partir de l’apparition du premier évènement, on constate un développement rapide d’allure exponentielle, qui s’atténue, passe par un point d’inflexion, puis s’atténue encore jusqu’à la disparition du phénomène, phase ultime qui peut durer assez longtemps.
Ceci n’avait pas échappé à un savant autodidacte britannique, Benjamin Gompertz, qui s’appuyant sur des données démographiques, avait énoncé, il y a bientôt deux siècles (1822) une fonction à laquelle son nom est resté attaché.
On en connaît plusieurs expressions plus ou moins complexes. On retiendra ici la plus simple comportant seulement deux paramètres T et K où, comme dans le cas de la fonction logistique, T est le nombre de jours entre l’origine et le point d’inflexion, et K un coefficient déterminant l’allure de la courbe. Les formules sont les suivantes :

-fonction de Gompertz :
-dérivée :

Voici la représentation graphique de la fonction et de sa dérivée (pour le couple de paramètres T=35 jours et K=0,09 à titre d’exemple).

-En début de courbe, N(t) est presque confondue avec la fonction exponentielle ainsi qu’avec la fonction logistique
-Au point d’inflexion (marqué par un gros point), on a t=T (ici 35), d’où (t-T) = 0 et = 1, d’où N(t) = 1/e # 0,37. La pente est alors maximale et égale à K/e (ici 0,033).
-En fin de courbe, N(t) est presque confondue avec la fonction exponentielle
Le lecteur voudra bien excuser l’aridité de ces formules ; en voici une image moins rébarbative.

On peut retenir que le point d’inflexion marque à peu près le tiers de l’évolution du phénomène, et non la moitié comme dans la logistique. Comme pour la logistique, le coefficient K illustre l’allure de la courbe : plus K est faible, plus la courbe est aplatie, donc étalée dans le temps.

3/ Exemples d’application.
Comme dans l’article précédent, on a tenté par tâtonnements de faire coïncider des courbes de Gompertz théoriques avec les données épidémiologiques publiées par le site Worldometer, à jour au 3 mai 2020. On a choisi comme entrée les nombres de décès attribués au coronavirus, qui sont probablement les mieux connus (le même exercice a été fait sur les cas déclarés et donne des courbes similaires). L’échelle des abscisses est exprimée en jours du calendrier. L’échelle des ordonnées a été rendue muette : en effet, l’ajustement entre la courbe théorique (en rouge) et la courbe réelle (en bleu) nécessite une hypothèse sur l’amplitude du phénomène, c’est à dire sur le nombre final de décès. Cette donnée est particulièrement sensible, dans tous les sens du terme car chaque jour qui passe peut conduire à la réviser en fonction de la dernière donnée en date.
On commencera par donner le graphique de la Chine, où la pandémie est considérée comme terminée depuis la mi-avril, et qui peut servie de parangon. La Chine a tout récemment revu son mode d’évaluation, mais n’a pas rétropolé sa série en conséquence. Néanmoins, il est intéressant de présenter la série non réévaluée (la nouvelle s’en déduirait par homothétie).

L’examen a surtout porté sur des pays européens. Les mosaïques ci-après illustrent les résultats obtenus pour huit d’entre eux. On donne pour chaque pays les valeurs des paramètres T et K, et les points d’inflexion sont marqués.

A titre d’illustration complémentaire, voici deux exemples de graphiques représentant cette fois les nouveaux décès déclarés quotidiennement, superposés à la dérivée N’(t). Les courbes sont beaucoup plus irrégulières que celles des cumuls, mais on discerne bien les tendances.

4/ Conclusion.
Que peut-on conclure de tout cela.
-D’une façon générale, l’évolution de la pandémie s’est notablement écartée de la courbe logistique (ce qui justifie la prudence préconisée dans l’article précédent). Gompertz semble avoir supplanté Verhulst.
-Les pays examinés présentent une grande diversité géographique, démographique, économique, et en matière de politique de santé. Face à la pandémie, ils ont adopté des dispositions très variées. Enfin il y a des écarts considérables dans les pourcentages de décès par rapport aux populations respectives. Pourtant les allures des courbes sont proches et les paramètres T et K sont assez voisins (en moyenne, T=34 jours et K=0,08).
-Il semble que la diminution progressive des décès journaliers manifeste maintenant une tendance assez robuste. En Europe, la pandémie serait donc peu éloignée de sa conclusion, sauf surprises ou réévaluations.
-Cela étant, faire des pronostics est un exercice particulièrement hasardeux. En l’occurrence, ce type de fonction ne constitue ni un « modèle » de prévision ni une « théorie mathématique des épidémies ». On voit seulement qu’il est possible d’adapter des observations épidémiologiques – présumées fiables – à un type de courbe théorique qui a fait ses preuves dans d’autres domaines. Mais l’allure définitive de la courbe ne peut être déterminée qu’en fin de course.

Pour tirer d’autres conclusions, et notamment faire des comparaisons pertinentes entre les pays, il faudra maintenant attendre la fin espérée de ce pénible épisode. Souhaitons que les mythes et les mancies ne s’imposent pas aux mathématiques.