Benny, oui, oui

Par MD

1/ Introduction.

Certains se rappellent peut-être notre article du 5 mai où l’on avait cherché à donner une expression mathématique à la propagation de la pandémie de coronavirus. Depuis lors, trois semaines ont passé et il a paru intéressant de vérifier si les premières impressions ont été confirmées ou infirmées. Répétons ici qu’il s’agit surtout d’un exercice de mathématiques appliquées.

On se souvient que l’allure des courbes représentant l’évolution des décès attribués au coronavirus s’était écartée de la forme exponentielle initiale, puis de la forme dite logistique ou sigmoïde, et s’était progressivement rapprochée d’un type de fonction imaginé il y a deux siècles par Benjamin Gompertz (qui nous pardonnera la familiarité du titre de l’article). Sans revenir sur les détails exposés dans l’article précédent, on rappellera seulement l’expression de la fonction de Gompertz : image001 dans laquelle : N(t) est le nombre cumulé de décès au temps t (en jours), T le nombre de jours écoulés entre l’apparition du premier décès et le moment où la courbe s’infléchit, et K un paramètre d’« aplatissement ». Voici à nouveau une illustration graphique de la courbe et de sa dérivée, où l’on voit que les courbes deviennent beaucoup plus étalées dans le temps après le point d’inflexion, lequel correspond évidemment au maximum de la dérivée. Le point d’inflexion se situe grossièrement à un peu plus du tiers de l’évolution du phénomène, en durée comme en amplitude.image002

2/ Applications à l’épidémie de coronavirus en Europe.

Les exemples donnés ci-après concernent un certain nombre de pays d’Europe, où il semblerait que la pandémie touche à sa fin. Les données illustrées ci-après concernent le nombre de décès attribués au coronavirus, répertorié par le site Worldometer, à la date du 25 mai 2020. L’exercice a consisté à ajuster les courbes des décès cumulés (en bleu) avec des courbes théoriques (en rouge) en jouant sur les paramètres T et K. L’échelle des ordonnées est cette fois indiquée en clair, car selon toute probabilité les queues de distribution ne nécessiteront plus que des ajustements minimes et le risque d’erreur est donc faible.

La mosaïque ci-dessous concerne les mêmes pays que dans l’article précédent. On peut constater que, d’une façon générale, les courbes se sont quelque peu « aplaties », à savoir que le paramètre T, position du point d’inflexion, a dû être décalé d’un jour ou deux et le paramètre K très légèrement réduit.image003image004Le point d’inflexion se situe en moyenne à 37 jours, ce qui porterait la durée typique de l’épidémie à un peu plus de trois mois (pour les huit pays représentés, l’échelle des abscisses choisie équivaut à 114 jours). Le paramètre d’aplatissement K est d’environ 0,075 en moyenne. Ces paramètres sont cependant fortement dispersés selon les pays, sans que les raisons en soient évidentes à première vue.

Mais ce qui est surtout remarquable est l’ajustement presque parfait à des fonctions de Gompertz. Les légères irrégularités des courbes bleues semblent surtout être des artefacts dus à l’imperfection dans le recensement et la transmission quotidiens des données (un « effet week-end » avait déjà été remarqué). Ces irrégularités sont beaucoup plus visibles dans les graphiques en  nombre de décès journaliers, comme on le voit sur les deux exemples ci-dessous, qui sont pourtant parmi les plus réguliers observés.image005

3/ Informations complémentaires.

Toutes ces courbes manifestent entre elles une ressemblance frappante qui n’est probablement pas le fruit du hasard. On retrouve d’ailleurs la même allure générale dans les graphiques représentant les nombres de cas déclarés : en voici deux exemples :image006

L’analogie entre tous ces pays s’arrête là : en effet, il existe, en nombres de décès ainsi qu’en nombres de cas, des différences considérables qui ne s’expliquent pas seulement par les populations respectives. On donne ci-dessous, à titre de simple pièce à conviction, un tableau comparatif entre différents pays d’Europe, à la date du 25 mai 2020.image007

4/ Conclusion.

Il paraît clair désormais que, au moins en Europe, l’évolution de la pandémie a pu être convenablement reproduite a posteriori (insistons sur ce terme) en utilisant une fonction inspirée de celle conçue par Gompertz.

Tous les pays examinés appartiennent au même continent et à la catégorie des « pays avancés » de l’OCDE, mais présentent une grande diversité en termes de géographie, de démographie, d’économie et de politique de santé publique. Face à la pandémie, ils ont fait choix de dispositifs très hétérogènes voire contradictoires. Les résultats en termes de morbidité et de létalité présentent une dispersion considérable. Ces chiffres ne sont évidemment pas définitifs. Il est possible que des corrections mineures soient apportées au vu de la mortalité générale toutes causes confondues, pour éliminer les facteurs de confusion. On corrigera peut-être quelques erreurs ou quelques oublis. Mais on restera probablement avec des disparités manifestes que certains pouvoirs publics auront du mal à justifier, comme le laisse déjà prévoir la cacophonie ambiante.

On pourra toujours prétendre que les dégâts ont été moindres que ne le prédisaient certains « modèles » manifestement extravagants. On verra surgir de nouveaux « modèles » utilisant une multitude de paramètres, tous aussi inconnus et imprévisibles les uns que les autres, qui rappelleront la fameuse plaisanterie de von Neumann.

Espérons que « les scientifiques » en tireront la principale leçon : la modestie face à des phénomènes que personne n’est capable de prévoir.

Attendons la suite, sans trop d’illusions.


Dernière minute : en quelques jours, l’Espagne vient de revoir les nombres de décès à la hausse (Catalogne +600) puis à la baisse (-1 900), suite à des doubles comptages et erreurs diverses. La série n’a pas encore été rétropolée à la suite de ces cafouillages. Voici le graphique correspondant aux derniers chiffres.

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23 réflexions au sujet de « Benny, oui, oui »

  1. Il ne vous a pas échappé que la durée de l’épisode épidémique est grosso modo le même dans tous tous les pays (un peu plus long pour ceux dont la population est plus importante). Il ne vous a pas échappé non plus que le nombre de victimes rapporté à la population varie considérablement.

    Comment ‘concilier’ les deux observations? L’efficacité plus ou moins grande des dispositions sanitaires prises par les populations et les gouvernements pourrait expliquer les différences de létalité mais plus difficilement le fait que la durée de l’épidémie est à peu près la même.

    C’est le moment de sortir le rasoir d’Ockham…

    Et si la partie était jouée avant de commencer ! C’est à dire avant que les populations se sentent en danger et que les autorités aient interdit certaines activités.
    1. L’’ensemencement’ se produit à l’insu de tous (ou presque) et sa densité est aléatoire.
    2. La réaction du public et des autorités intervient au moment où les effets de l’épidémie sont manifestes, mais le nombre de personnes contaminées est déjà important.
    3. La réaction du public et des autorité se traduit rapidement ( c’est partout l’affaire de 2 à 3 semaines) par une diminution du flux de nouvelles contaminations.
    4. La proportion de personnes contaminées se retrouve ainsi très variable d’un pays à l’autre. Dito pour le nombre de morts.
    5. Au bilan, la qualité des soins , la pyramide des ages, la sévérité du confinement… ne sont pas des facteurs de première importance.

    Conclusion: la durée de l’épidémie est avant tout déterminée par le délai entre la contamination et le décès éventuel et le nombre de victimes par le hasard de l’ensemencement initial (qui vaut aussi pour expliquer la différence entre les villes ou régions. La plupart des régions françaises ont des performances allemandes avec les mêmes dispositions sanitaires que l’Ile de France…)

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  2. Vraiment intéressant.
    Est-ce qu’on peut en déduire que finalement tous les pays ont reporté honnêtement la mortalité Covid ? Si l’un ou l’autre avaient cherché à minimiser ou truander, ça se verrait dans la forme de la courbe non ?

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  3. De manière plus bestiale, pour la létalité maladive, on observera qu’en plusse de l’attrait touristique des différents pays vainqueurs, les usines à oisifs voyageurs ont trinqué, les pays où « se fait la bise » aussi ont dérouillé ! Essayez d’en claquer une à une suédoise, c’est police-secours ! Comme le faisait s’esclaffer le regretté Dabadie à un Guy Bedos déchaîné, dans un sketch fameux. Demandez à Assange, il l’a appris à son détriment, pour un flirt un peu poussé, sur un malentendu..

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    • J’ai ouï dire que pour Stockholm, ça équivalait New-York, point de vue mourrus, mais autant le ciel méditerranéen est lumineux, l’atmosphère translucide, autant les brumes du Nord assombrissent les fjords profonds… Ce sont des pays rationnels où les vieux sont des bouches inutiles, alors si leur passage de vie à trépas est accéléré, c’est pas plus mal. L’année passée une polémique est née en Suède quand a été décidé de réduire de 3° la température dans les maisons de retraite, gérées par les communes, un système en faillite. Il faut ne pas connaître les personnes âgées pour ignorer qu’à 80 ans, on est ultra frileux, et 20°, c’est pas assez. On a décidé de ne plus baisser que de 1°…

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      • Mon père qui a été une force la nature, insensible au froid, eh ben à la fin, malade, il n’a pas arrêté de me tarabuster car son vieux radiateur de 4kw ayant rendu l’âme, je ne suis pas parvenu à lui dégotter un équivalent, il avait récupéré l’original jadis sur un chantier, un truc industriel inexistant en fourniture grand public. Et pourtant, il ne gelait quasiment jamais, il avait froid.
        La plupart du temps on appréhende les problèmes des vieux sans être capables de se mettre à leur place, avec leurs sensations, leur état multisensoriel dégradé, sans force, frileux… Plus on va vers le sud, plus on tient compte des gens âgés, plus on va vers le nord, plus on en est distant. Entre parents et enfants, on comparera « Rocco et ses Frères » avec « Fanny et Alexandre »…

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    • La Suède suit la courbe comme tout le monde. Le point d’inflexion était le 113ème jour de l’année. Avec 35.000 personnes positives cumulées en sont à 80% dans l’épidémie, environ 43.000 personnes atteintes environ à la fin de l »épidémie.

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    • Il semble que le taux de mortalité se rapproche de celui de la France, ce qui suggérerait un « aplatissement » de la courbe donc le contraire de ce qui était attendu par les simulations

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      • Voici pour la Suède

        Je ne l’avais pas incorporé dans l’article, car les données fournies sont désordonnées (comme on le voit graphiquement) : il est difficile de comprendre comment le nombre annoncé de décès quotidien peut varier de 10 à plus de 100. D’autre part l’allure de la courbe, très aplatie, conduit à s’interroger sur l’état d’avancement réel de l’épidémie dans ce pays.
        Michel

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  4. Est ce que le caractère asymétrique de la courbe ne peut pas s’expliquer par l’hétérogénéité à l’intérieur d’un même pays. Avec un t0 différent d’un département à l’autre, la courbe nationale serait l’addition de x courbes légèrement décalées dans le temps.
    Un décalage important produit alors ce qu’ils appellent seconde vague comme on peut le constater dans le cas iranien. En réalité, ça n’est pas une seconde vague mais la « première » vague d’un département qui a été épargné jusqu’à présent.
    En tous cas, merci pour cet exercice mathématique

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  5. Merci à tous les intervenants.
    Richaddoi : il est vrai que l’uniformité de ces courbes suggère que l’évolution de la pandémie présente un caractère inexorable, une fois le processus enclenché. Il reste tout de même l’extrême diversité des « résultats », qui se manifeste non seulement pays par pays mais à tous les niveaux de découpages géographiques, comme le fait aussi observer tarifzein.
    Je pense comme Aragorn qu’un truandage se verrait au premier coup d’œil (sauf s’il était homéopathique auquel cas il ne présenterait pas d’intérêt pour le pays déclarant).
    Indépendamment des pays relatés dans l’article, je me suis évidemment intéressé à d’autres pays ou groupes de pays, en dehors de la mouvance européenne. On retrouve systématiquement la même allure générale à des degrés divers d’avancement. On peut d’ailleurs trouver ces graphiques factuels pays par pays sur le site Worldometer. Mais lorsque la pandémie n’en est qu’à un stade insuffisamment avancé, la confrontation avec une courbe théorique serait trop hasardeuse et donc impubliable : ce serait comme condamner par avance quelques milliers ou dizaines de milliers de personnes inconnues.
    Ce qui est sûr, c’est qu’on n’en a pas terminé avec les explications et théories plus ou moins ingénieuses qui vont immanquablement surgir de cette malheureuse expérience.
    Cordialement à tous.
    Michel

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  6. Bonjour, je regarde de telles courbes de Gompertz depuis quelques semaines déjà ;l’évolution des paliers théoriques avec chaque nouvelle donnée quotidienne permet de saisir les limites de l’exercice. Si ça vous intéresse, on peut en discuter plus en détail.
    Je vous mets le lien ici du fichier que je mets généralement à jour le matin : https://www.dropbox.com/s/wxryyq60dapicqa/Stats covid.ods?dl=1
    pour les décès (ramenés en équivalent population française) d’une dizaine de pays.

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  7. Je partage avec vous une compilation que je viens d’effectuer sur l’impact qu’ont eu l’étude du Lancet et la recommendation de l’OMS qui a suivi sur les essais de traitements C19 en cours.
    – Recovery (University of Oxford) continue d’évaluer les traitements à base d’HCQ avec la bénédiction de la Medicines and Healthcare products Regulatory Agency. C’est la seule étude qui compte si l’on s’intéresse à la validation ou la réfutation du ‘protocole Raoult’.
    – COPCOV (Mahidol Oxford Tropical Medicine Research Unit, financé par la Bill & Melinda Gates Foundation) a temporairement suspendu le recrutement de participants à la demande de la MHRA mais espère obtenir bientôt une autorisation de reprise. Il est à noter que COPCOV ne s’interesse à l’HCQ pour une utilisation préventive a destination des personnels soignants.
    – Solidarity (OMS) continue d’évaluer l’effet de l’HCQ sur les cas passés mais a suspendu l’administration de nouvelles doses jusque à ce que des résultats justifient que l’on puisse reprendre le processus. Comme l’essai porte sur des cas avancés, l’étude n’est de toute façons pas d’un grand intérêt.
    – Discovery (Inserm) a suspendu l’essai portant sur l’HCQ pour une durée indéterminée. Ce n’est pas une grosse perte car comme l’a dit Raoult « si on avait envie de prouver que ça ne marche pas, on ne s’y prendrait pas autrement ».

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  8. La question qui vient à l’esprit : le confinement si finement c.n sert-il à quelque chose?
    L’Allemagne, plus souple, ne connait pas la déroute française.

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    • P’têt que nos amis teutons n’ont pas bénéficié d’une grande messe évangélique indoor avec 2 000 participants, dont un grand nombre en état de jeûne, donc affaiblis, où tout le monde se tripote sous un déluge d’eau bénite toute une semaine durant. Une bonne fête de la bière (Pas bénite) genre fiesta munichoise, c’eût été tout autre chose, peut-être, question de date, Paul Guimard appelait ça les « Choses de la Vie », ou « L’Ironie du Sort »…

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  9. Effectivement l’ajustement avec une fonction de Gompertz est d’une qualité étonnante. En fait on s’aperçoit qu’à un décalage de date initiale près tous les pays suivent exactement la même trajectoire avec un seul paramètre différenciant les pays à savoir le nombre final de personnes touchées. Cela signifie sans doute que l’épidémie se soucie peu de contremesures dérisoires mais touche une certaine proportion de tous ceux qui sont sensibles. Et si certains pays comme la Corée ont des performances étonnantes, c’est peut être que chez eux le nombre de personnes sensibles est plus faible. En plus de pratiquer avec virtuosité les mesures de distanciation, ces pays ont peut être simplement déjà été affectés par des virus similaires qui ont renforcé leurs défenses immunitaires. Je développe sur https://jcbwordpresscom.wordpress.com/2020/05/29/covid19-la-nature-dicte-sa-loi/ qui est accessible aussi en cliquant sur mon nom.

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    • Que toutes les contremesures soient efficaces: probablement pas, mais il est douteux que cela n’affecte pas sa propagation.
      L’explication de l’extension de l’épidémie par la sensibilité plus ou moins grande de la population n’est pas cohérente avec au moins deux observations:
      – La disparité du taux de contamination entre les régions d’un même pays,
      – le taux de contamination constaté sur le Diamond Princess et le Charles de Gaulle où plus de 50 % ont été atteints alors que cette proportion est de l’ordre de quelques % sur la terre ferme.

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      • Je ne fais que constater sur l’historique que les changements majeurs (confinement et déconfinement) ne semblent pas causer d’inflexions différées (une semaine pour les cas, un mois pour les morts). La comparaison entre pays confineurs ou non va dans le même sens. S’agissant des milieux très densément occupés (Charles de Gaulle et Diamond Princess), non seulement le R0 y est forcément plus grand mais on sort peut être aussi de la linéarité à savoir que le risque en croisant 10 malades est peut être plus de 10 fois supérieur au risque d’en croiser un seul. Le même argument peut d’ailleurs s’appliquer à différents pays (ou zones d’un même pays) : ceux qui ont eu la malchance d’avoir des clusters particulièrement importants vont être globalement très touchés (sauf s’ils agissent très vite comme la Corée). Tout cela est encore mal compris et il est ahurissant que l’on (nos gouvernants !) ait fait une telle confiance à des modèles épidémiologiques très sommaires. Ce dont on a besoin c’est de véritables explications mécanistes que seuls de vrais biologistes pourront peut-être trouver (l’immunité croisée me plait assez !). On pourra alors mettre leurs idées dans des modèles ayant un fondement plus sérieux.

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  10. Pour conclure ces échanges, je vous présente un autre type de graphique : il s’agit de placer sur la même figure l’évolution des « cas déclarés » et des « décès attribués » au coronavirus.
    J’ai choisi l’exemple de l’Italie, qui semble avoir fourni des données parmi les plus régulières depuis l’origine, sans réajustements ni ruptures de séries. Le choix des échelles d’ordonnées correspond à la proportion de décès par rapport aux cas, soit environ 14% pour l’Italie. Tout naturellement, les deux courbes convergent en queues de distributions.
    Michel

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  11. Le rapport entre le nombre de morts et le nombre de cas déclarés est compris entre le taux de morbidité parmi les malades et le taux de mortalité dans le cas général. Dans le premier cas, on ne teste que les malades (la plupart des pays, au moins au début de l’épidémie); dans le second on teste toute la population (ce qui ne s’est fait que dans quelques petits pays).

    14 % c’est à peu près la proportion de malades qui ne survivent pas…

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  12. Un pays qui semble tricher dans le nombre de décès c’est le Qatar. 36 décès pour plus de 50.000 cas. Pour le même nombre de cas, la Belgique en est à 9000 décès avec un nombre de tests par million d’habitant quasi identique..

    La  » seconde » vague continue à monter en Iran. Ça touche essentiellement des régions qui atteignent 40° en ce moment.
    Il faudra se méfier des clims peut être cet été.

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    • Quelle est la proportion de plus de 80 ans au Qatar ? Et sans vraiment tricher il est aussi possible que tous les pays n’aient pas la même définition d’un mort covid. Certains y classeront allègrement des cas douteux non testés mais avec de vagues signes de pneumonie ou encore des cas positifs avec une contamination survenue alors que l’individu était mourant déjà avant. D’autres n’y classeront que des personnes qui ne seraient normalement pas morts sans le covid. Il faudra analyser tout cela tranquillement lorsque l’épidémie sera finie. Chez nous c’est manifestement le cas mais il reste encore des pays retardataires.

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