Benny, oui, oui

Par MD

1/ Introduction.

Certains se rappellent peut-être notre article du 5 mai où l’on avait cherché à donner une expression mathématique à la propagation de la pandémie de coronavirus. Depuis lors, trois semaines ont passé et il a paru intéressant de vérifier si les premières impressions ont été confirmées ou infirmées. Répétons ici qu’il s’agit surtout d’un exercice de mathématiques appliquées.

On se souvient que l’allure des courbes représentant l’évolution des décès attribués au coronavirus s’était écartée de la forme exponentielle initiale, puis de la forme dite logistique ou sigmoïde, et s’était progressivement rapprochée d’un type de fonction imaginé il y a deux siècles par Benjamin Gompertz (qui nous pardonnera la familiarité du titre de l’article). Sans revenir sur les détails exposés dans l’article précédent, on rappellera seulement l’expression de la fonction de Gompertz : dans laquelle : N(t) est le nombre cumulé de décès au temps t (en jours), T le nombre de jours écoulés entre l’apparition du premier décès et le moment où la courbe s’infléchit, et K un paramètre d’« aplatissement ». Voici à nouveau une illustration graphique de la courbe et de sa dérivée, où l’on voit que les courbes deviennent beaucoup plus étalées dans le temps après le point d’inflexion, lequel correspond évidemment au maximum de la dérivée. Le point d’inflexion se situe grossièrement à un peu plus du tiers de l’évolution du phénomène, en durée comme en amplitude.

2/ Applications à l’épidémie de coronavirus en Europe.

Les exemples donnés ci-après concernent un certain nombre de pays d’Europe, où il semblerait que la pandémie touche à sa fin. Les données illustrées ci-après concernent le nombre de décès attribués au coronavirus, répertorié par le site Worldometer, à la date du 25 mai 2020. L’exercice a consisté à ajuster les courbes des décès cumulés (en bleu) avec des courbes théoriques (en rouge) en jouant sur les paramètres T et K. L’échelle des ordonnées est cette fois indiquée en clair, car selon toute probabilité les queues de distribution ne nécessiteront plus que des ajustements minimes et le risque d’erreur est donc faible.

La mosaïque ci-dessous concerne les mêmes pays que dans l’article précédent. On peut constater que, d’une façon générale, les courbes se sont quelque peu « aplaties », à savoir que le paramètre T, position du point d’inflexion, a dû être décalé d’un jour ou deux et le paramètre K très légèrement réduit.Le point d’inflexion se situe en moyenne à 37 jours, ce qui porterait la durée typique de l’épidémie à un peu plus de trois mois (pour les huit pays représentés, l’échelle des abscisses choisie équivaut à 114 jours). Le paramètre d’aplatissement K est d’environ 0,075 en moyenne. Ces paramètres sont cependant fortement dispersés selon les pays, sans que les raisons en soient évidentes à première vue.

Mais ce qui est surtout remarquable est l’ajustement presque parfait à des fonctions de Gompertz. Les légères irrégularités des courbes bleues semblent surtout être des artefacts dus à l’imperfection dans le recensement et la transmission quotidiens des données (un « effet week-end » avait déjà été remarqué). Ces irrégularités sont beaucoup plus visibles dans les graphiques en  nombre de décès journaliers, comme on le voit sur les deux exemples ci-dessous, qui sont pourtant parmi les plus réguliers observés.

3/ Informations complémentaires.

Toutes ces courbes manifestent entre elles une ressemblance frappante qui n’est probablement pas le fruit du hasard. On retrouve d’ailleurs la même allure générale dans les graphiques représentant les nombres de cas déclarés : en voici deux exemples :

L’analogie entre tous ces pays s’arrête là : en effet, il existe, en nombres de décès ainsi qu’en nombres de cas, des différences considérables qui ne s’expliquent pas seulement par les populations respectives. On donne ci-dessous, à titre de simple pièce à conviction, un tableau comparatif entre différents pays d’Europe, à la date du 25 mai 2020.

4/ Conclusion.

Il paraît clair désormais que, au moins en Europe, l’évolution de la pandémie a pu être convenablement reproduite a posteriori (insistons sur ce terme) en utilisant une fonction inspirée de celle conçue par Gompertz.

Tous les pays examinés appartiennent au même continent et à la catégorie des « pays avancés » de l’OCDE, mais présentent une grande diversité en termes de géographie, de démographie, d’économie et de politique de santé publique. Face à la pandémie, ils ont fait choix de dispositifs très hétérogènes voire contradictoires. Les résultats en termes de morbidité et de létalité présentent une dispersion considérable. Ces chiffres ne sont évidemment pas définitifs. Il est possible que des corrections mineures soient apportées au vu de la mortalité générale toutes causes confondues, pour éliminer les facteurs de confusion. On corrigera peut-être quelques erreurs ou quelques oublis. Mais on restera probablement avec des disparités manifestes que certains pouvoirs publics auront du mal à justifier, comme le laisse déjà prévoir la cacophonie ambiante.

On pourra toujours prétendre que les dégâts ont été moindres que ne le prédisaient certains « modèles » manifestement extravagants. On verra surgir de nouveaux « modèles » utilisant une multitude de paramètres, tous aussi inconnus et imprévisibles les uns que les autres, qui rappelleront la fameuse plaisanterie de von Neumann.

Espérons que « les scientifiques » en tireront la principale leçon : la modestie face à des phénomènes que personne n’est capable de prévoir.

Attendons la suite, sans trop d’illusions.

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Dernière minute : en quelques jours, l’Espagne vient de revoir les nombres de décès à la hausse (Catalogne +600) puis à la baisse (-1 900), suite à des doubles comptages et erreurs diverses. La série n’a pas encore été rétropolée à la suite de ces cafouillages. Voici le graphique correspondant aux derniers chiffres.

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