Les aventures de Virus et Logistix

par MD

1/ Introduction.

La fonction dite « logistique » avait déjà été traitée début mars par Benoît Rittaud à l’occasion de la pandémie qui occupe actuellement tous les esprits. Comme on sait, ce type de fonction dont la représentation graphique bien reconnaissable lui vaut les surnoms de « courbe en S » ou « sigmoïde » est très courante dans les phénomènes démographiques, économiques, sociologiques, psychologiques et biologiques. Elle a commencé à être étudiée vers 1840 par l’école belge de statistiques (Quételet et Verhulst).

La courbe obtenue exprime une fonction du temps N(t), constamment croissante entre deux asymptotes d’ordonnées zéro (valeur à la naissance) et un maximum (valeur à la maturité) en passant par un point d’inflexion pour une valeur pivot qui est aussi un centre de symétrie. Elle se caractérise par son allure « exponentielle » aux deux extrémités, source de nombreuses erreurs d’interprétation notamment au démarrage des phénomènes observés. Sa dérivée N’(t) est nulle à la naissance, croît et passe par un maximum au point d’inflexion, puis décroît et tend vers zéro à la maturité.

On partira de l’expression la plus simple de cette fonction et on tentera de regarder si on peut lui adapter des données actuellement connues de propagation de la pandémie. Que l’on comprenne bien qu’il s’agit là d’un simple exercice mathématique sans aucune autre prétention.

2/ La courbe théorique.

La fonction N(t) représente le nombre d’événements recensés au temps t (en jours). Pour caractériser le phénomène, on définit deux paramètres : T, nombre de jours pivot au point d’inflexion qui exprime la demi-durée et K un paramètre qui exprime la vitesse de propagation. La fonction N(t) est alors la suivante :
image001Le graphique ci-dessous présente l’allure des courbes pour T=35 jours (simple exemple arbitrairement choisi ici) et quatre valeurs de K. Le point (T=35 , N=0,50) est le centre de symétrie des courbes. Pour l’axe des t, on a choisi une graduation par semaines.image002-En début de courbe, N(t) est pratiquement confondu avec la fonction exponentielle : Formule_logist
-En milieu de courbe, pour t=T, on a (t-T)=0 et Logist_fonction2 D’où N(t) =1/2, point d’inflexion où la pente est maximale.
-En fin de courbe, N(t) est pratiquement confondu avec la fonction exponentielle symétrique Logist_fonction3
C’est ce que représente le graphique ci-dessous dans le cas K=0,30.image006La dérivée de N(t) est
Logist_fonction4représentée par le graphique ci-dessousimage008Il s’agit, selon son surnom usuel, d’une « courbe en cloche », qui passe par un maximum pour la valeur pivot. N'(t) représente le nombre de nouveaux évènements par unité de temps (par jour).

3/ Exemples d’application.

L’exercice suivant consiste à tenter de superposer une courbe logistique théorique avec les données publiées par Worldometer, à jour au 12 avril 2020. Compte tenu de l’incertitude sur les données concernant les nombres de cas recensés, on raisonnera sur les nombres de décès, qui sont probablement mieux connus.
Pour faire coïncider les deux courbes, il convient de procéder par tâtonnement en agissant sur les deux paramètres indiqués précédemment : le nombre de jours pivot T et le paramètre K.

Exemple de la Chine, où la pandémie est généralement considérée comme terminée.
La série commence le 19 janvier 2020 (il y a incertitude sur l’apparition du premier décès) et se termine vers fin mars 2020 (un peu plus de 3 300 décès), époque à partir de laquelle le nombre de nouveaux décès devient peu significatif. Le paramètre K est égal à 0,15 et la valeur pivot est T=28 jours (repérée par le gros point rouge).image009

Pour les deux autres exemples, l’échelle des ordonnées a été volontairement rendue muette, afin d’éviter que ces graphiques puissent être considérés comme des pronostics. Dans ces deux pays, la pandémie semble déjà assez avancée.

Exemple de l’Italie
La série commence le 22 février 2020 (premier décès déclaré). Le paramètre K est égal à 0,15 et la valeur pivot est T=38 jours.image010

Exemple de l’Espagne
La série commence le 03 mars 2020 (premier décès déclaré). Le paramètre K est égal à 0,20 et la valeur pivot est T=30 jours.image011

4/ Conclusion.

Le même exercice peut être fait pour chaque pays ou ensembles de pays ; les quelques autres simulations qui ont pu être effectuées dénotent la même allure générale à quelques exceptions près.
Dans ces trois exemples, la coïncidence entre courbe théorique et courbe réelle est jusqu’à présent satisfaisante. Cependant, la prudence s’impose. En effet, chaque jour apporte une donnée nouvelle qui peut conduire à modifier les paramètres, sans parler des erreurs ou des retards dans les déclarations des différents pays. En tout état de cause, pour tirer les premiers enseignements, il faut déjà que la courbe se soit significativement écartée de l’exponentielle initiale et de préférence ait largement dépassé le point d’inflexion.

25 réflexions au sujet de « Les aventures de Virus et Logistix »

  1. merci pour ces éclairages précieux. Une question me semble être de savoir si cette inflexion parallèle des courbes est due aux mesures de distanciation sociale prise dans les différents pays ou à une évolution normale de la pandémie. On est bien sûr tenté de suivre les autorités, promptes à s’en attribuer le bénéfice, dans la première hypothèse, mais, en même temps, comme dirait notre président, les inflexions semblent très parallèles alors que les mesures de distanciation et de confinement obéissent à des modalités et à une rigueur très variable selon les pays… Comme diraient les adversaires de Raoult, on manque d’un groupe témoin sans distanciation pour une réponse certaine…

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  2. On trouve des courbes épidémiques ajustées tous les jours sur le site des laboratoires ELM.
    Ils utilisent une fonction légèrement différente, mais qui ressemble diablement à une courbe logistique. Initialement, leurs ajustements étaient un peu hiératiques et leurs estimations de la fourchette d’erreur visiblement peu fiables. Mais au fur et à mesure que l’on avance, les ajustements deviennent meilleurs.

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    • Bonjour Monsieur,

      Pour bien comprendre votre intervention, avez-vous voulu dire « hiératiques » ou « erratiques ».
      Je vous remercie d’avance de votre réponse.
      Cordialement,
      Eric Monard.

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  3. A défaut de groupe témoin, des sondages sur des échantillons de taille suffisante de la proportion de personnes réellement infectées jour après jour auraient permis (pourraient permettre à l’avenir) de suivre l’évolution de l’infection. On pourrait par exemple tester les flux (covid, non-covid) de personnes arrivant dans les hôpitaux. Les données disponibles actuellement sont, certes, mieux que rien. Mais on voit bien que leur irrégularité limite beaucoup leur intérêt. En particulier, il y a des sauts le 4 et 7 avril, à la suite desquels la progression de l’infection est différente.
    Ces sauts résultent-ils d’événements externes (température, humidité de l’air par exemple) ou de changement administratifs?
    Comme la climatologie, la médecine semble avoir de sérieux problèmes avec l’utilisation des statistiques. Mais contrairement à la première, la seconde semble éviter les prédictions à trop long terme. Il est vrai que le démenti arrive beaucoup trop rapidement.
    Autre point : même en scrutant les données disponibles dans tous les sens, on a du mal a discerner un changement brusque lié à la date de début du confinement. Serait-ce qu’un confinement a un effet progressif?
    (doublon possible)

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  4. En date du 14/04 , selon Southern France Morning Post
    https://www.mediterranee-infection.com/covid-19/

    Monde: Décès/cas confirmés 6,22%
    AP-HM: Décès / patients positifs 1,72%
    IHU (Raoult) Décès / patient traités 0,38%

    Petit exercice (non scientifique)
    On applique ces mêmes pourcentages à 3 millions de Français qui seraient atteints:
    % Monde: 187 000 décès
    % AP-HM: 51 724 décès
    % IHU: 11 415 décès

    Il semble que les ministres (au Sénégal) sachent calculer :

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  5. On mesure ici le fossé existant entre la formation d’un mathématicien et celle des professions médicales. Il est martelé pendant toutes les études de ces dernières deux principes universels qui forment sa vision du monde:
    1/ Tout phénomène biologique (maladie, maturation, expansion des espèces, etc., quand l’abscisse est le temps; mais aussi distribution d’un caractère dans une population) comporte un début, un acmé et une fin, de sorte que la seule courbe qui traduise ces phénomènes est la courbe dite de Gauss (pas forcément symétrique), c’est à dire la courbe en forme de cloche montrée dans votre article. Et c’est le fait qu’il y ait une fin naturelle qui est le plus important.
    2/ Il n’existe pas de maladie, il n’existe que des malades; ce qui rend les praticiens totalement hermétiques à la prise de pouvoir de leurs disciplines par les épidémiologistes, les statisticiens, ou les promoteurs de santé publique.
    Pour un « docteur », comme aime se désigner Didier Raoult, le concept même de « facteurs de risque » mis en évidence par les études épidémiologiques n’est qu’un pis-aller provisoire quand on n’a encore absolument rien compris aux mécanismes biologiques intrinsèques de la pathologie étudiée. Pour tout dire, ce « docteur » n’accepte de les considérer qu’en se bouchant un peu le nez.

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  6. Je pense qu’il est plus que temps d’arrêter de parler de ce virus, cette comédie tragique a assez duré. On a bien compris que pour éviter de saturer les services de réanimation, un pays entier va sombrer dans la misère, dans la révolte et probablement s’engager a terme vers la guerre car cela finit toujours comme ca.
    Nous sommes déjà a 8 millions de chômeurs, sans réaction aucune de la population. On continue sans relâche a parler des masques, dans un état d’hypnose et de sidération. Dans deux ans, il n’y aura meme plus de services de réanimation, car il n’y aura plus rien.
    Un plan est en train de se réaliser, et pendant que le pays coule, les blogs continuent de commenter ce que les médias complices de ce sabordage nous envoient en pâture. Je veux bien être conciliant mais au bout d’un moment, il est temps de comprendre et d’arrêter d’être con.

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    • C’est quoi le plan alors ?
      On déconfine et on ouvre des fosses communes ?
      Qui soigne-t-on si on ne peut soigner tout le monde ?

      Car, dans les pays où le système de santé est saturé, c’est vraiment ce qui se passe. Ce n’est pas un fantasme ou une peur irraisonnée.

      Ah oui, l’idée a priori intéressante de l’immunité collective tout en protégeant les populations fragiles. Les pays comme les Pays-Bas ou l’UK qui étaient partis dans cette voie y ont finalement renoncé parce qu’il s’avère impossible d’isoler correctement les populations fragiles des autres. C’est dommage. J’aimais bien cette idée également, mais elle semble ne pas être tout à fait étanche.

      Aucun gouvernement qui tenterait cette option ne résisterait à la colère de la population. Même les plus bravaches comme Trump ou BJ y ont renoncé.

      Cela pourrait à la limite fonctionner si
      – les gouvernants savent que c’est leur dernier mandat (impossible d’êtrer réélu après ça, même si la décision est raisonnée)
      – des lois d’exception sont votées pour qu’aucun gouvernement ne puisse être poursuivi pour absence de prise de mesure
      – les médias s’abstiennent de filmer les images atroces des Ehpads
      – on est capable au bout d’un certain temps de montrer que le bilan est positif (par comparaison avec d’autres pays, p.ex), ce qui ne sera pas simple car la crise économique sera mondiale indépendamment des « performances » des pays.

      Par ailleurs, l’idée répandue qu’une crise économique ferait finalement plus de morts ne semble pas corroborée par les statistiques des crises précédentes (même si comparaison n’est pas raison, on pourrait s’attendre à ce que les statistiques montrent un détérioration significative).

      https://www.politico.com/news/magazine/2020/04/02/coronavirus-economy-reopen-deaths-balance-analysis-159248#2

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      • Fosses communes? mais vous regardez trop la propagande televisuelle. La zombification des esprits progresse dans ce pays, plus vite que n’importe quel virus. Nous sommes loin des chiffres de mortalite d’une grippe saisonnière, nous sommes loin des 14000 morts en 1 mois de la canicule de 2003. On ne parlait pas de fosses communes a l’époque il me semble?.

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  7. On peut aussi trouver une fonction très voisine d’une logistique en supposant que les générations de contaminés sont espacées de T et multipliées par R0 à chaque fois, ce qui donne
    dN/dt (t)=R0 (1-N(t)) dN/dt(t-T) (désolé pour la mauvaise mise en page de la formule)
    Je me suis amusé à cela sur mon blog (accessible par mon nom). Ce n’est malheureusement qu’un amusement car il n’y a pas de données assez complètes pour valider un modèle. Ajuster des courbes est très facile mais cela ne prouve pas grand chose.
    La question clef est de savoir si l’on est proche du point d’inflexion ou non. Même si les politiques de confinement sont peu efficaces, elles font quand même varier le R0 dans le temps, ce qui rend difficile de savoir si une inflexion est due à cette politique ou si elle se serait faite spontanément par approche de l’immunité collective. Le fait que des politiques de confinement plus ou moins rigoureuses (France, Italie, Allemagne, Suède) ne donnent pas des effets fondamentalement différents m’incite à penser que l’immunité collective ne doit pas être très loin. Et même si les rares tests sérologiques ne sont pas encore positifs pour beaucoup de monde, il n’est pas impossible que ces tests aient beaucoup de trous dans la raquette. On ne teste pas forcément toute la gamme des anticorps possibles (pourquoi d’ailleurs une réponse adaptative par immunité acquise serait elle forcément la même pour chaque individu ?) et l’on ne mesure pas les autres modes de défense des organismes qui en ont heureusement pas mal d’autres car les anticorps n’apparaissent pas immédiatement lors d’une attaque virale sur un organisme.

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    • Je suis tenté de penser comme vous, que l’immunité collective n’est pas loin. Il nous faut un modèle et que l’on puisse valider comme on peut avec les données disponibles à gauche et à droite.
      Si ce postulat est vérifié, il faut envoyer le modèle d’urgence à l’Elysée

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  8. Quand on ramène le nombre de décès à la population ou au nombre de nouveaux cas (source Wikipedia), on trouve :
    France : DC/Pop = 0,021% et DC/Cas avérés = 15,6%
    USA : DC/Pop = 0,007% et DC/Cas avérés = 4%
    Pays-Bas : DC/Pop = 0,016% et DC/Cas avérés = 10,6%
    UK : DC/Pop = 0,017% et DC/Cas avérés = 12,8%
    Italie : DC/Pop = 0,033% et DC/Cas avérés = 12,7%

    En même temps j’ai dû mal à analyser. Peut-être que ce calcul ne sert à rien…
    Cela signifie-t-il qu’on meurt plus dans les hôpitaux français ?
    L’Italie qui était sensée avoir mal gérer la crise se retrouve au même niveau relatif que les autres.
    Le nombre de décès des années précédentes, on peut se poser la question : y a-t-il eu saturation des services de réanimation en 2018, 2017, 2016… ?

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    • Il faut être prudent, tous les pays ne dépistent pas de la même façon et tous n’attribuent pas les décès aux mêmes causes. Une personne qui était à l’agonie juste avant de contracter le virus est elle une victime du virus ou de ce qui a causé son état précédent ? Le seul juge de paix d’une vraie crise sanitaire est le nombre total de morts de l’année, toutes causes confondues. Si une cause sort vraiment de la norme, cela doit se voir sur le total. Si on reste dans la gamme de fluctuations habituelles c’est que l’on s’est un peu trop emballés sur l’ampleur de la crise.

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      • « Le seul juge de paix d’une vraie crise sanitaire est le nombre total de morts de l’année »

        Ce n’est pas le cas dans cette épidémie. Là ce sont les places en réanimation qui devient l’élément déterminant de cette épidémie. Le nombre de morts n’est pas si grand que cela. C’est vraiment la logistique médicale le facteur qui rend la situation problématique.

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  9. Merci pour ces données, l’équation logistique et le site Worldometer. Chacun peut facilement retrouver la courbe logistique pour la France (amplitude 19500; K = 0.2 ; T = 36 avec To au 2 mars) et déterminer le bilan global donné par ce modèle. Pour l’Italie, je trouve que le nombre de décès journalier est la resultante de deux courbes logistiquement d’amplitude respectives de 14000 et 10000 avec un K de 0,2 et un décalage temporel de 16 jours et un To au 23 février. Donc, on a deux phases épidémiques en Italie. N’ayant pas suivi de près ce qui s’est passé chez nos voisins Italiens je ne sais pas si cette hypothèse est réaliste.

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  10. Votre remarque est très intéressante. Il semble en effet que les courbes observées ne soient pas exactement conformes à la loi logistique que j’ai indiquée. Je n’ai pas parlé de cette question pour deux raisons : d’abord pour ne pas alourdir le propos, ensuite parce que la pandémie n’étant pas encore achevée il serait audacieux de tirer des conclusions générales. Toutefois l’exemple de la Chine semble montrer que la fonction n’est pas exactement symétrique, mais a tendance à s’étaler légèrement dans le temps en queue de courbe, c’est-à-dire, en termes de géométrie analytique, que le paramètre K devient un peu inférieur à la valeur initiale (à cet égard, l’allure de la courbe rappellerait plutôt celle de la loi de Gompertz).
    On peut facilement simuler le phénomène en conservant les mêmes paramètres T et K jusqu’au point d’inflexion et en modifiant K à partir du point d’inflexion. Voici ce que cela donne pour la Chine en donnant à K la valeur de 0,13 au lieu de 0,15 (le nombre de décès « définitif » semble s’être établi à 3 340).

    Le cas de l’Italie n’est pas encore assez avancé quoiqu’il soit apparemment dans sa phase terminale. Je ne pense pas que l’on puisse parler de « deux phases épidémiques » mais simplement de l’amorce d’un étalement en fin de phénomène. Cela étant je répète que mon propos était une pure distraction mathématique et n’avait pas d’autre prétention.
    Merci en tous cas pour votre intervention.
    Michel

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    • En utilisant le modèle de courbe logistique proposée, on remarque effectivement qu’aujourd’hui, pour la France, un modèle à deux constantes de temps K colle mieux aux data de worldometers pour le nombre de décès. La seconde étant plus faible que le première de 20% environ. Ainsi si on garde pour la phase de croissance exponentielle une amplitude 19500; K = 0.2 ; T = 36 avec To au 2 mars, on trouve pour la seconde moitié de la courbe une amplitude 24000; K = 0.16 ; T = 38 avec un To au 2 mars.
      Cela est-il justifié par l’impact du confinement ou par le fait qu’on arrive à mieux soigner les personnes avec plus d’équipements et moins de saturation des hôpitaux et cliniques, ou des protocoles de soin plus efficaces?
      En ce qui concerne l’Italie, le modèle à deux vagues épidémiques colle encore bien aux datas en réajustant l’amplitude de la seconde vague :deux courbes logistiques d’amplitude respectives de 14000 et 12000 avec un K de 0,2 et un décalage temporel de 18 jours et un To au 23 février. Mais peut être faudra-t-il y ajouter également une constante de temps différente pour la seconde partie de la courbe.
      Il faudrait faire le même exercice avec les données du réseau sentinelle sur les cas de grippes saisonnières pour voir si on a cette même courbe logistique à 2 constantes de temps.
      Si ces modélisations s’avèrent réaliste, alors la bonne nouvelle c’est que cette épidémie est bientôt terminée.
      Cordialement.

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  11. Le seuil d’immunité collective correspondant à un taux de reproduction effective de 1, à atteindre en vue de « stabiliser » l’incidence de la maladie et à dépasser en vue d’arrêter la circulation de l’agent pathogène, est fonction du taux de reproduction de base (R0)
    Seuil = 1 – 1/R0
    Exemples : R0 = 2 ; seuil = 1 – 1/2 = 50 %
    R0 = 5 ; seuil = 1 – 1/5 = 80 %
    R0 = 10 ; seuil = 1 – 1/10 = 90%
    Pour le Covid pour lequel le R0 est estimé à 2,5 le seuil d’immunité collective est donc
    de 1 – 1/2,5 = 60%
    Le taux de reproduction effective (Re) correspond à la circulation d’une maladie dans une population composite sur le plan immunitaire alors que le taux de reproduction de base R0 correspond à la circulation d’une maladie dans une population naïve entièrement réceptive
    Si X est la proportion (décimale, de 0 à 1) de sujets demeurés réceptifs dans la population, on a :
    Re = R0 * X
    Donc s’il reste 40% de personnes réceptives dans le cas du Covid
    Re = 2,5 * 40% = 1
    Le Re peut bien entendu descendre en dessous de 1.
    Pour 70% de personnes immunisées , Re = 2,5 * 30% = 0,75

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