Patrice Laffont contre le Royal Rumble

Il était grand temps que MM&M s’intéresse à cette grave injustice. Merci Yanarthus.

par Yanarthus.

L’immarcescible émission télévisée Des Chiffres et des Lettres a profité de la période des fêtes pour organiser un « Tournoi des tournois » entre ses meilleurs candidats, que nous appellerons simplement Le Tournoi. Exceptionnellement, les concurrents jouaient par équipes de deux joueurs, les binômes étant constitués par tirage au sort. Mais l’essentiel concerne l’étrange format adopté pour Le Tournoi, notamment pour le mode de désignation de l’équipe vainqueur. Un scandale galactique qu’il est temps de dénoncer.

Nous nous sommes déjà à plusieurs reprises intéressés aux organisations des compétitions sportives : ici pour des formats coupe, ici pour montrer comment des championnats pouvaient être raccourcis ou encore là pour la transition de la phase de poules vers la phase à élimination directe. Nul doute qu’il y aura de nouveaux articles à écrire avec le passage de la Coupe du Monde à 48 pays et le retour des sinistres poules de trois à partir de 2026.

Calendrier de la période des fêtes de fin d’année oblige, Le Tournoi comporte dix matches. Une solution simple et équitable aurait par exemple consisté à inviter six équipes réparties en deux poules de trois (même si on n’aime pas trop les poules de trois, incitations aux arrangements), dont les deux premiers auraient été qualifiées pour jouer deux demi-finales qualificatives pour un « match pour la troisième place » et une finale : cela fait bien dix matches, toutes les équipes sont à peu près à égalité au départ et Le Tournoi se serait terminé en apothéose par sa finale pour désigner son vainqueur le dernier jour.

Mais ce n’est pas du tout ce qui a été fait. Lors de la première émission, le présentateur Laurent Romejko a précisé les règles définies par Patrice Laffont, producteur de l’émission : vingt-deux joueurs répartis en onze équipes, deux équipes jouent le premier jour, celle qui gagne ce match est qualifiée pour le match du lendemain où elle affronte une nouvelle équipe qui entre dans Le Tournoi et ainsi de suite. Une nouvelle équipe entre en lice chaque jour et rencontre le vainqueur du match de la veille, cela permet bien de faire participer onze équipes en dix jours. Et surtout, l’équipe vainqueur du Tournoi est celle… qui remporte le plus de matches.

– Je crois que notre producteur bien-aimé en a un peu abusé avant de pondre un règlement pareil.

Il vient immédiatement à l’esprit que ce format est totalement injuste, qu’il défavorise considérablement les dernières équipes à entrer en compétition (dommage pour celle qui entre en dernier et peut royalement gagner un match) et que la « meilleure équipe » peut ne pas gagner Le Tournoi. Analysons cela de plus près.

Où le catch inspire Des Chiffres et des Lettres

Il existe une compétition analogue dans un sport réputé pour la sincérité de ses matches : le catch. La WWE, plus grande fédération de ce sport au monde, organise chaque année le « Royal Rumble match ». (Notez que l’édition 2017 se tient dimanche prochain. Non, non, je ne parle pas de la primaire de la gauche.) Le principe est simple et spectaculaire : 30 compétiteurs entrent successivement dans le ring, un à un toutes les 90 secondes, un combattant est éliminé quand il passe « par dessus la troisième corde » de l’aire de combat, le vainqueur est le dernier encore sur le ring à la fin.

Avec ce principe d’entrées successives des compétiteurs qui s’éliminent les uns les autres, la ressemblance avec Le Tournoi est frappante. Une première différence est que les compétiteurs sont beaucoup plus que deux au même moment sur le ring car ils ne se laissent pas éliminer facilement, ce qui permet les alliances entre combattants pour en éliminer d’autres. La seconde différence réside dans la désignation du vainqueur : le gagnant est le dernier sur le ring. Cela favorise évidemment les derniers entrés qui doivent tenir moins longtemps que ceux présents depuis le début mais cela garantit aussi que le « meilleur » gagne. Et d’ailleurs rien n’empêche que le premier entré gagne le Royal Rumble comme l’ont fait par le passé l’illustre Shawn Michaels ou le petit Rey Mysterio. Si le Royal Rumble appliquait le règlement du Tournoi, le vainqueur serait celui qui est resté le plus longtemps sur le ring ou celui qui a éliminé le plus d’adversaires. Ces statistiques sont connues mais purement honorifiques.

Dans la suite de l’article nous allons analyser les conséquences du mode de désignation du vainqueur du Tournoi dans deux cas extrêmes :

• le premier cas est l’existence d’une hiérarchie totale entre les équipes : la plus forte (notée 1) bat systématiquement toutes les autres, la deuxième équipe la plus forte (notée 2) perd contre la 1 mais bat toutes les autres et ainsi de suite jusqu’à l’équipe la plus faible (notée 11) qui perd contre toutes les autres.
• le second cas est l’absence de hiérarchie : le résultat de chaque match est aléatoire, chacune des deux équipes en présence ayant une probabilité 1/2 de le remporter.

Nous appellerons règlement Royal Rumble la désignation du vainqueur de la compétition comme le gagnant du dernier match et règlement Patrice Laffont la désignation du vainqueur comme celui ayant gagné le plus de matches.

Si l’ordre règne…

Intéressons-nous d’abord au cas de la hiérarchie totale.

Dans le cas d’un règlement Royal Rumble, le vainqueur est nécessairement l’équipe 1, quel que soit l’ordre des matches, puisqu’elle ne peut pas être battue. C’est sans doute la situation « la plus juste » sportivement : le meilleur gagne à la fin.

Dans le cas d’un règlement Patrice Laffont, l’équipe 1 reste favorite mais n’est pas certaine de gagner. En effet, si elle entre tardivement dans la compétition, elle ne peut gagner que le petit nombre de matches qui restent à disputer et il se peut qu’une équipe en ait remporté davantage auparavant. Par exemple, si elle entre au dernier match, elle ne gagne qu’un match et n’a pratiquement aucune chance de gagner, sauf cas très particulier où les équipes précédentes sont entrées par ordre de force croissante (probabilité d’une chance sur 1 814 400).

Ce qui arrive à l’équipe 1 si elle entre au dernier match.

Le résultat de chaque match étant uniquement déterminé par la force des deux équipes en présence (situation d’ordre total), nous avons effectué 1 000 tirages au sort de l’ordre d’entrée des équipes (parmi les 19 958 400 possibles) et observé laquelle gagnait Le Tournoi pour chacun de ces 1 000 tirages. Dans les cas d’égalité entre plusieurs équipes remportant le même nombre de matches, la victoire a été partagée équitablement entre les équipes à égalité (d’où des résultats éventuellement fractionnaires). Les nombres de victoires obtenues lors de notre série de 1 000 tirages au sort sont les suivants :

Équipe 1 : 660,4

Équipe 2 : 208,0

Équipe 3 : 75,5

Équipe 4 : 33,0

Équipe 5 : 8,6

Équipe 6 : 11,1

Équipe 7 : 3,2

Équipe 8 : 0,0

Équipe 9 : 0,2

Équipe 10 : 0,0

Équipe 11 : 0,0

Sans surprise, la probabilité de victoire décroît rapidement quand le niveau de l’équipe diminue. L’équipe la plus forte (1) gagne Le Tournoi dans 66 % des tirages au sort (il suffit qu’elle entre en lice lors d’un des cinq premiers matches pour être sûre de distancer toutes ses concurrentes), mais les autres équipes peuvent aussi gagner : environ 21 % pour l’équipe 2, 8 % pour l’équipe 3, 3 % pour l’équipe 4, les autres sont au voisinage ou en dessous de 1 %.

Si l’ordre ne règne pas…

Elle augmente si l’ordre ne règne pas.

Passons maintenant au cas de l’absence de hiérarchie.

Toutes les équipes sont supposées de même niveau et chaque équipe en présence a une probabilité exactement 1/2 de gagner un match auquel elle participe. On note alors les équipes A à K en fonction non plus de leur niveau mais de leur ordre d’entrée dans Le Tournoi : A et B entrent au premier match, C affronte ensuite le vainqueur de leur match, le gagnant de ce match rencontre le nouvel entrant D et ainsi de suite jusqu’à l’arrivée de K au dernier match.

Dans un règlement Royal Rumble, une équipe est d’autant plus favorisée qu’elle entre tard : pour la dernière équipe à entrer en lice, il suffit de remporter son unique match pour décrocher le trophée. Les probabilités de victoire finale sont alors très faciles à calculer, ce sont les inverses des puissances de 2 :

Équipe K : 50,0 % (1/2)

Équipe J : 25,0 % (1/4)

Équipe I : 12,5 % (1/8)

Équipe H : 6,2 % (1/16)

Équipe G : 3,1 % (1/32)

Équipe F : 1,6 % (1/64)

Équipe E : 0,8 % (1/128)

Équipe D : 0,4 % (1/256)

Équipe C : 0,2 % (1/512)

Équipes B et A : 0,1 % (1/1024)

La situation est plus complexe dans le cas du règlement Patrice Laffont : comme dans le cas de l’ordre total, il paraît logique qu’il faille entrer tôt dans la compétition pour avoir la plus grande « réserve » de matches à gagner, mais jusqu’à quel point est-ce important ?

Nous avons envisagé les 2¹⁰ = 1 024 scénarii possibles (et équiprobables) pour Le Tournoi : le premier match peut être gagné ou perdu par l’équipe B (contre l’équipe A), le deuxième gagné ou perdu par l’équipe C et ainsi de suite jusqu’au dixième match. Pour chacun de ces scénarii, nous avons déterminé le vainqueur (là aussi en partageant la victoire en cas d’égalité) et obtenu les résultats suivants :

Équipe A : 102,3 victoires

Équipe B : 102,3 victoires

Équipe C : 113,5 victoires

Équipe D : 123,4 victoires

Équipe E : 124,9 victoires

Équipe F : 123,3 victoires

Équipe G : 119,5 victoires

Équipe H : 109,1 victoires

Équipe I : 80,9 victoires

Équipe J : 24,6 victoires

Équipe K : 0,2 victoire

On constate que la probabilité de victoire dans Le Tournoi est à peu près constante (entre 10,0 % et 12,2 %) pour les huit premières équipes tirées au sort ; les équipes qui entrent en lice ensuite sont de plus en plus défavorisées, ce qui était prévisible. En revanche, on observe un résultat très contre-intuitif : c’est l’équipe tirée en cinquième position qui a la plus grande probabilité de gagner Le Tournoi, alors qu’elle a moins de matches à disposition que les précédentes !

Une première explication du fait que les premières équipes aient à peu près la même probabilité de gagner Le Tournoi réside dans le nombre moyen de matches emportés par chaque équipe (espérance du nombre de victoires) au cours du Tournoi. Chaque participant ayant une probabilité 1/2 de gagner un match auquel il participe, le calcul est assez facile et on obtient ceci :

Équipes A et B : 1 023/1 024 ≈ 0,9990 match

Équipe C : 511/512 ≈ 0,9980 match

Équipe D : 255/256 ≈ 0,9961 match

Équipe E : 127/128 ≈ 0,9922 match

Équipe F : 63/64 ≈ 0,9844

Équipe G : 31/32 ≈ 0,9688

Équipe H : 15/16 = 0,9375

Équipe I : 7/8 = 0,875

Équipe J : 3/4 = 0,75

Équipe K : 1/2 = 0,5

Un calcul de probabilités somme toute facile.

Les premières équipes à entrer en lice remportent donc en moyenne pratiquement un match. Ce n’est que pour les toutes dernières que le nombre moyen de matches gagnés commence à baisser significativement.

Nous avons donc un premier indice montrant que les équipes entrant « pas de trop près de la fin » du Tournoi sont en fait sur un pied d’égalité. Mais on pourrait aussi penser que ce qui compte pour gagner Le Tournoi est la capacité d’obtenir de longues séries de matches gagnés plutôt que le nombre moyen de matches gagnés.

Pour vérifier cela, on observe à nouveau les 1 024 scénarii possibles pour Le Tournoi et on compte le nombre de matches gagnés par le vainqueur dans chaque scénario :

1 match gagné : 2

2 matches gagnés : 176

3 matches gagnés : 370

4 matches gagnés : 254

5 matches gagnés : 126

6 matches gagnés : 56

7 matches gagnés : 24

8 matches gagnés : 10

9 matches gagnés : 4

10 matches gagnés : 2

Sur les 1 024 scénarii du Tournoi, 548 (53,5 %) donnent la victoire à une équipe qui a gagné au plus trois matches ! Ce n’est en fait pas surprenant : avec une probabilité de victoire de 1/2, les séries d’au moins quatre victoires sont très rares (probabilité 1/16 alors qu’il n’y a que 11 participants) et il paraît alors logique qu’il suffise d’assez peu de matches gagnés pour être vainqueur du Tournoi. Ainsi, toutes les équipes disposant d’une « réserve » d’au moins quatre matches (c’est-à-dire les équipes A à G) se retrouvent presque sur un pied d’égalité, seules les dernières voient leurs chances de gagner Le Tournoi significativement diminuées.

Et cette analyse donne aussi l’explication du paradoxe de la plus grande probabilité de victoire pour l’équipe E plutôt que pour A ou B. Si l’équipe E remporte 4 matches (les matches 4 à 7), elle est certaine de gagner Le Tournoi puisque les équipes A et B n’ont pu en emporter qu’au plus 3 (C et D respectivement 2 et 1) et que l’équipe I ne pourra en emporter qu’au plus 3 aussi (J et K respectivement 2 et 1). En revanche, si A ou B remporte 4 victoires (ou même 5), elle n’est pas certaine de gagner (ou de gagner seule) puisqu’une équipe apparaissant plus tard peut rééditer la performance. Entrer en lice un peu avant le milieu de la compétition est donc le meilleur moyen de couper les séries des équipes précédentes et d’empêcher celles des équipes suivantes !

Le règlement Patrice Laffont ne vaut rien

Finalement, dans la situation d’absence de hiérarchie, peu importe le règlement du Tournoi puisque les résultats sont aléatoires : les équipes étant de même valeur, elles sont départagées par le hasard, et peu importe que ce soit le hasard du jeu ou celui du tirage au sort…

En revanche, si une hiérarchie est établie, il est vraiment dommage que Le Tournoi se prive de la certitude de récompenser la meilleure équipe avec le règlement Patrice Laffont, chose dont il se serait assuré avec le règlement Royal Rumble.

Ce règlement Patrice Laffont a deux autres inconvénients :

• le dernier match, décisif dans une compétition rationnelle afin que le suspense soit à son comble, peut n’avoir aucun intérêt si les deux équipes en présence n’ont plus aucune chance de gagner Le Tournoi parce qu’une autre, déjà éliminée, a emporté au moins deux victoires de plus qu’elles. Pas de quoi attirer une foule de téléspectateurs.
• le vainqueur du Tournoi peut être souillé par la défaite. Si le futur vainqueur perd un match, sa légitimité est ternie : comment peut-il défendre le prestige du vainqueur face à l’équipe qui l’a battu ? Le Tournoi risque donc de couronner un champion affaibli et illégitime.

Ce que risque le vainqueur du Tournoi s’il perd contre les frères Bogdanoff.

Comment Patrice Laffont, ancien présentateur des regrettées émissions Le Juste Euro (dont il ne semblé hélas plus rester de trace vidéo sur la Toile) et La Liste Gagnante, mais aussi inoubliable acteur du film Le Gendarme de Saint-Tropez a-t-il pu concevoir un format de compétition aussi absurde ?

Au fait, comment Le Tournoi s’est-il déroulé ?

Miracle de la télévision, le scénario le plus simple s’est produit, évitant toute contestation ou souillure : la paire Hervé – Jean-Marc, entrée au premier match, a gagné toutes ses rencontres. Dix victoires, il est impossible de lui contester son triomphe dans Le Tournoi !

– Bon allez, le 29 janvier, on va à San Antonio pour participer au Royal Rumble.

– Y aura Lesnar et Goldberg, ils nous font bien marrer, ils ne pourront rien contre notre streak de dix victoires, celle du Taker s’est arrêtée à vingt-et-un !