Les aventures de Virus et Logistix

par MD

1/ Introduction.

La fonction dite « logistique » avait déjà été traitée début mars par Benoît Rittaud à l’occasion de la pandémie qui occupe actuellement tous les esprits. Comme on sait, ce type de fonction dont la représentation graphique bien reconnaissable lui vaut les surnoms de « courbe en S » ou « sigmoïde » est très courante dans les phénomènes démographiques, économiques, sociologiques, psychologiques et biologiques. Elle a commencé à être étudiée vers 1840 par l’école belge de statistiques (Quételet et Verhulst).

La courbe obtenue exprime une fonction du temps N(t), constamment croissante entre deux asymptotes d’ordonnées zéro (valeur à la naissance) et un maximum (valeur à la maturité) en passant par un point d’inflexion pour une valeur pivot qui est aussi un centre de symétrie. Elle se caractérise par son allure « exponentielle » aux deux extrémités, source de nombreuses erreurs d’interprétation notamment au démarrage des phénomènes observés. Sa dérivée N’(t) est nulle à la naissance, croît et passe par un maximum au point d’inflexion, puis décroît et tend vers zéro à la maturité.

On partira de l’expression la plus simple de cette fonction et on tentera de regarder si on peut lui adapter des données actuellement connues de propagation de la pandémie. Que l’on comprenne bien qu’il s’agit là d’un simple exercice mathématique sans aucune autre prétention.

2/ La courbe théorique.

La fonction N(t) représente le nombre d’événements recensés au temps t (en jours). Pour caractériser le phénomène, on définit deux paramètres : T, nombre de jours pivot au point d’inflexion qui exprime la demi-durée et K un paramètre qui exprime la vitesse de propagation. La fonction N(t) est alors la suivante :
Le graphique ci-dessous présente l’allure des courbes pour T=35 jours (simple exemple arbitrairement choisi ici) et quatre valeurs de K. Le point (T=35 , N=0,50) est le centre de symétrie des courbes. Pour l’axe des t, on a choisi une graduation par semaines.-En début de courbe, N(t) est pratiquement confondu avec la fonction exponentielle :
-En milieu de courbe, pour t=T, on a (t-T)=0 et D’où N(t) =1/2, point d’inflexion où la pente est maximale.
-En fin de courbe, N(t) est pratiquement confondu avec la fonction exponentielle symétrique
C’est ce que représente le graphique ci-dessous dans le cas K=0,30.La dérivée de N(t) est
représentée par le graphique ci-dessousIl s’agit, selon son surnom usuel, d’une « courbe en cloche », qui passe par un maximum pour la valeur pivot. N'(t) représente le nombre de nouveaux évènements par unité de temps (par jour).

3/ Exemples d’application.

L’exercice suivant consiste à tenter de superposer une courbe logistique théorique avec les données publiées par Worldometer, à jour au 12 avril 2020. Compte tenu de l’incertitude sur les données concernant les nombres de cas recensés, on raisonnera sur les nombres de décès, qui sont probablement mieux connus.
Pour faire coïncider les deux courbes, il convient de procéder par tâtonnement en agissant sur les deux paramètres indiqués précédemment : le nombre de jours pivot T et le paramètre K.

Exemple de la Chine, où la pandémie est généralement considérée comme terminée.
La série commence le 19 janvier 2020 (il y a incertitude sur l’apparition du premier décès) et se termine vers fin mars 2020 (un peu plus de 3 300 décès), époque à partir de laquelle le nombre de nouveaux décès devient peu significatif. Le paramètre K est égal à 0,15 et la valeur pivot est T=28 jours (repérée par le gros point rouge).

Pour les deux autres exemples, l’échelle des ordonnées a été volontairement rendue muette, afin d’éviter que ces graphiques puissent être considérés comme des pronostics. Dans ces deux pays, la pandémie semble déjà assez avancée.

Exemple de l’Italie
La série commence le 22 février 2020 (premier décès déclaré). Le paramètre K est égal à 0,15 et la valeur pivot est T=38 jours.

Exemple de l’Espagne
La série commence le 03 mars 2020 (premier décès déclaré). Le paramètre K est égal à 0,20 et la valeur pivot est T=30 jours.

4/ Conclusion.

Le même exercice peut être fait pour chaque pays ou ensembles de pays ; les quelques autres simulations qui ont pu être effectuées dénotent la même allure générale à quelques exceptions près.
Dans ces trois exemples, la coïncidence entre courbe théorique et courbe réelle est jusqu’à présent satisfaisante. Cependant, la prudence s’impose. En effet, chaque jour apporte une donnée nouvelle qui peut conduire à modifier les paramètres, sans parler des erreurs ou des retards dans les déclarations des différents pays. En tout état de cause, pour tirer les premiers enseignements, il faut déjà que la courbe se soit significativement écartée de l’exponentielle initiale et de préférence ait largement dépassé le point d’inflexion.