Gérald Tenenbaum sur l'exponentielle

Mise à jour (23/03, 21h) : en fait cette tribune est en accès libre, je la reproduis donc en intégralité. BR.

Mon collègue et ami Gérald Tenenbaum, dont il a plusiieurs foois été question ici, vient de signer une excellente tribune dans Libération, dans laquelle il présetne quelques éléments de réflexion sur l’exponentielle et l’épidémie. Comme ce n’est pas en accès libre, je me contente d’en reproduire ci-dessous quelques extraits.

De l’exposant à l’explosion, qu’est-ce qui ne passe pas avec l’exponentielle ?

par Gérald Tenenbaum

La communication autour de l’épidémie de Covid-19 s’est largement appuyée sur la notion mathématique de croissance exponentielle, qui nous emporte (trop) rapidement vers des nombres si grands qu’ils nous apparaissent comme intermédiaires entre le fini et l’infini.

Tribune. La communication autour de l’épidémie de Covid-19 s’est largement appuyée sur la notion mathématique de croissance exponentielle. Quand les mots résonnent, la raison s’égare. Dérivé savant du latin exponens, exposant, l’adjectif «exponentiel» désigne d’abord, selon d’Alembert dans l’article éponyme de l’Encyclopédie (1751-1772), une «quantité élevée à une puissance dont l’exposant est indéterminé et variable».

Tous les termes de cette petite phrase sont propres à susciter l’inquiétude plus que la réflexion. Non seulement la «quantité» évoquée est une parfaite abstraction dont on prétend mesurer la taille avant d’en connaître la nature, mais elle apparaît «élevée à une puissance» devant laquelle nous ne pouvons que ressentir de… l’impuissance. Quand le quantitatif prend le pas sur le qualitatif, quelque chose se grippe dans notre représentation du monde. Et nous savons que certaines grippes sont mortelles.

Il est vrai qu’il est aisé de concevoir des quantités proportionnelles. Nous sommes habitués à l’exercice depuis l’enfance, même si la trop fameuse «règle de trois» a quelque peu obscurci le tableau. Si le kilo d’oranges vaut 2 euros, il faudra débourser 6 euros pour acquérir trois kilos de ces fruits du soleil. Simple comme bonjour. Quelle que soit la quantité d’oranges achetées, le prix demeure identique rapporté au poids – que les grossistes de Rungis veuillent bien pardonner cette approximation à vocation purement spéculative.

Pièges

Mais supposez à présent qu’un démon maléfique fasse doubler le prix à chaque kilo supplémentaire. Alors le prix de 2 kilos serait de 4 euros, celui de 3 kilos de 8 euros, celui de quatre kilos de 16 euros, etc. Cela serait non seulement injuste, économiquement absurde, mais rapidement impraticable : tout le PIB mondial ne suffirait pas à l’emplette, somme toute modeste, de 47 kilos d’oranges.

C’est l’un des pièges de la notion d’exponentielle que de nous emporter (trop) rapidement vers des nombres si grands qu’ils nous apparaissent comme intermédiaires entre le fini et l’infini – une contrée psychologique que Benoît Rittaud, dans son livre prémonitoire la Peur exponentielle (PUF 2015) désigne fort judicieusement comme le «surfini». Ces grands nombres sont finis au sens mathématique du terme, on peut les écrire avec suffisamment de chiffres, mais ils sont infinis pour tout usage que nous pouvons en faire : les diviser ou les multiplier par 2 n’en modifierait pas notre représentation – une caractéristique classique de l’infini.

A LIRE AUSSINotre dossier : La planète face au coronavirus

Ainsi, dès que nous sommes amenés à représenter un phénomène physique, en l’occurrence la progression du nombre de personnes infectées par le coronavirus, par une courbe à croissance exponentielle, l’extrapolation intuitive nous conduit presque immanquablement au vertige. Les valeurs échappent au fini pour s’engouffrer dans le surfini et notre capacité à penser l’évolution s’essouffle.

Ces courbes qui semblent monter au ciel

Pour autant, il n’est pas si difficile de démystifier l’exponentielle. Elle n’est que la manifestation d’un processus naturel, celui qui veut que, parfois, le taux d’accroissement d’une quantité ne soit pas fixe mais proportionnel à la valeur instantanée de cette quantité. Si la contamination était linéaire, le nombre de nouveaux cas serait chaque jour identique au précédent. Mais la contamination est évidemment d’autant plus intense qu’une fraction importante de la population est atteinte. Le nombre de nouvelles personnes contaminées le mardi n’est donc pas égal à celui du lundi mais proportionnel au nombre total de personnes contaminées le lundi. D’où ces courbes qui semblent initialement monter au ciel et laissent l’impression désespérante et fallacieuse que la pandémie est irrésistible et insurmontable.

L’analyse offre une échappatoire en forme de revanche. Car enfin, dans une population donnée et pour le type d’infection que nous rencontrons, les personnes contaminées ne peuvent, sauf exceptions à négliger en première approximation, être contaminées à nouveau. Il s’ensuit que le nombre de cas nouveaux quotidiens ne peut pas demeurer constamment proportionnel au nombre d’infectés. Après un certain temps, plus il y a de malades, moins il peut y avoir de nouveaux malades. Il en va ainsi du devenir de toutes les courbes physiques qui débutent comme des exponentielles : il vient nécessairement un stade où le taux de renouvellement est voué à faiblir. La nature du phénomène ne change pas : le taux de renouvellement demeure proportionnel à la quantité globale mais le rapport de proportionnalité passe sous la barre de l’unité. C’est comme si, au lieu de doubler, le prix du kilo d’oranges était divisé par deux à chaque nouvel achat. Aussi vite avait-il atteint des valeurs impraticables, aussi vite deviendra-t-il tellement bon marché que l’orange ne vaudra, pour ainsi dire, plus un radis.

Point d’inflexion

Le moment critique où se produit la bascule entre croissance et décroissance du taux de renouvellement est ce fameux point d’inflexion des courbes épidémiques, dites «en S». Nous l’attendons avec impatience. Il surviendra d’autant plus tôt que les mesures de confinement auront été efficaces. Pourquoi cela ? Tout simplement parce que le confinement revient à exclure une partie de la population du processus d’infection et atteindre ainsi plus rapidement un niveau minoré de saturation. Moins de joueurs, donc moins de perdants.

Les mathématiques modélisent le réel mais permettent aussi, puisque la pensée n’a pas de limite, de modéliser d’irréel, l’infini et l’impossible. La croissance exponentielle, qui nous nargue en permanence, ne saurait rendre compte que d’une partie des phénomènes naturels, économiques ou sociologiques. Toute grandeur évoluant en fonction d’elle-même, tôt ou tard, s’épuise d’elle-même. Il y va de notre grandeur d’intégrer ce principe dans notre vision du monde pour déterminer ce que nous voulons en faire.

Gérald Tennebaum a récemment publié deux livres : Des mots et des maths (essai), Odile Jacob, et Reflets des jours mauves (roman), Héloïse d’Ormesson.
Gérald Tenenbaum Mathématicien, spécialiste de la théorie des nombres, et professeur à l’Institut Élie Cartan de l’université de Lorraine.

21 réflexions au sujet de « Gérald Tenenbaum sur l'exponentielle »

  1. Malheureusement, le confinement est une des causes faisant que les infections ORL sont plus fréquentes en hiver ou dans les pays au temps pluvieux. Il suffit de lire les romans de Jane Austen ou de Thomas Hardy pour voir que les Anglais sont très ordinairement enrhumés. Le grand air c’est la santé.
    Mais heureusement, l’infection Covid-19 est très facile à soigner comme l’ont montré de façon éclatante les Chinois. Il est vrai que si l’on refuse de diagnostiquer les malades et que l’on interdit de les soigner avant qu’ils ne soient quasi-morts, on va réussir à créer artificiellement un problème de santé public quand il n’y avait qu’une infection respiratoire banale à soigner par son médecin traitant.
    Tout ceci ne sert qu’à une chose, fouler aux pieds nos libertés fondamentales. La dangerosité de ce Covid-19, à condition qu’on suive les instructions du professeur Raoult, n’est pas plus crédible que la dangerosité du CO2. C’est le comportement des fous qui ont pris le pouvoir qui est dangereux.

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  2. La victoire est proche. Raoult fait le buzz sur tf1.
    Ce gouvernement est fini.
    Exigeons le test pour tous en bravant le confinement si nécessaire.
    Profitons en pour en finir avec cette transition énergétique bidon.

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  3. La peur qu’inspire une progression exponentielle peur être bonne conseillère. Imaginez un peu dans quelle situation serait l’Italie actuellement, si le gouvernement s’était laissé influencer par les appels à la modération de tous ces économistes italiens qui ,sous prétexte que le nombre de malades était limité , considéraient le confinement comme déraisonnable et disproportionné.Le sentiment de fausse sécurité induit par une progression qui semble lente au début, peut conduire à une réaction trop tardive . C’est typiquement l’erreur dans laquelle Trump est tombé . Maintenant il est obligé de prendre des mesures énergiques car il n’a plus le choix.

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    • On avait le traitement depuis le retour d’expérience chinois.
      On attends quoi pour tester, diagnostiquer et soigner …..
      C est ridicule tout autant que ce confinement .
      C est le confinement qui est responsable du massacre en Italie. Les italiens sont des méditerranéens, plusieurs générations sous le même toit . On pouvait sauver ces gens.

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  4. Le deconfinement est impossible. On ne peut pas l’envisager. Quand les français seront ou se seront déconfinés, ils se rendront compte qu’ils n’ont plus rien. Plus de boulot, plus de sous dans les banques dans une économie a l’arrêt. On ne peut déconfiner. Plus on attend, plus ce sera pire, et c’est sans doute pour cela que ce gouvernement attend.
    Quand les français vont se deconfiner, le gouvernement actuel sera déjà loin.
    Il aura fini son boulot.

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    • Il va allez où le poudré selon vous ? Bordeaux (1940), Baden-baden (1968).
      La dernière (vrai) fuite date de 1791

      Les descendants de la Terreur, de la semaine de 10 jours, des comités de salut public vont plutôt s’ enferrer encore plus dans leurs doctrines. Un classique.

      Le révolution çà bug .. c’ est parce qu’ il n’ y en pas assez
      Le communisme çà bug .. c’ est parce qu’ il n’ y en pas assez
      L’ UE çà bug .. c’ est parce qu’ il n’ y en pas assez
      Le mondialisme çà bug.. c’ est parce qu’ il n’ y en pas assez

      Nous sommes de trop bonnes vaches à lait .. surtout les vaches surendettées.

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  5. A mon avis, ceux qui ont voulu casser l’Europe ont gagné.
    Si on se déconfine, on va au devant de troubles sociaux si importants, que les pays seront détruits.
    Si on reste confinés, on détruit davantage l’économie. Et a la fin, ce sera encore plus violent.
    Alors on est dans l’entre deux.
    Un temps historique.
    Une grande respiration pendant laquelle les Français, les Italiens, les Espagnols et les Grecs (la fameuse zone B de l’Europe en 2008), confinés chez eux, vivent comme en rêve, les derniers instants de leur vie d’avant.
    Avant la grande déferlante, qui va tout emporter.

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      • On aimerait bien ! Mais il y a trop d’elements troublants dans cette histoire. Par exemple, la liste des pays totalement confines et dont l’économie est totalement a l’arrêt, est la meme que la liste des pays de la zone euro B qui n’avait pas été faite durant la crise de 2008: Grece, Italie, France et Espagne.
        Ce virus est bien étrange en vérité!

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      • Normal, ces pays ont les gouvernements les plus mal élus.
        Ils jouent à fond la carte joker PEUR. Soyez sage avec vos élites, sinon vous allez tous MOURIRRRRRRR

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  6. Les marchands de peur sont passés. Merci les médias.
    Le jeu consiste justement à ne pas rentrer dans le leur et à réagir de façon pragmatique et raisonné (c’est à dire réaliste).
    Nous avons tous compris qu’il existait un traitement. Merci à l’IHU Méditerranée Infection.
    Il va devenir bientôt inapproprié de ne pas l’utiliser.
    En conséquence le confinement aussi deviendra très vite inapproprié.
    L’économie est au ralenti, mais pas à l’arrêt.
    Merci de penser qu’elle peut repartir.
    Par contre c’est très bizarre, l’exponentiel dans un ensemble fini ne m’a jamais fait peur puisqu’elle a forcément une limite, un peu comme ce célèbre dicton, les arbres ne montent pas au ciel.
    Vivement le retour du sujet central de ce site, le climat et les maths.

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  7. D’abord, j’espère que Gérald nous lira et je lui souhaite donc aujourd’hui un heureux anniversaire. J’ai déjà apprécié sur MM&M ses derniers livres ici : T DISC MM&M https://tinyurl.com/uwdlexg
    Depuis j’ai à peu près tout lu ce qui était disponible de son œuvre et je conseille aux amateurs de maths et de littérature de s’y mettre car c’est vraiment un écrivain et un scientifique de talent.

    L’article de Libération sur l’exponentielle m’a conduit à reprendre « Des mots et des maths »
    Outre l’entrée « racine », dans l’index, j’ai trouvé les différentes occurrences du mot « puissance ». A l‘entrée « moment » j’ai redécouvert les notions de moyennes sur lesquelles Benoît avait attiré notre attention et j’ai compris pourquoi dans la thermométrie, mesure de la chaleur comme son nom l’indique, devait bien prendre en considération en les distiguant, les moments d’ordre 1 (moyennes arithmétiques) de ceux d’ordre 2 (moy de carrés, énergie cinétique Mm*U^2 en joules) de ceux d’ordre 3 (moyennes de températures basées sur des variations de volume). J’ai commencé cette étude il y a déjà longtemps, par exemple ici : https://tinyurl.com/ybfytxs7 et les conséquences sur l’évolution des moyennes d’anomalies de T globales et en arctique sont dramatiques, un coup de froid entraine une augmentation énorme de la moyenne des anomalies de T simplement parce le moment d’ordre 1 n’est pas approprié à des variations d’une mesure cubique. Voir ici https://tinyurl.com/y74fqfxo

    Enfin, à propos des constantes en physique ce sont des grandeurs associées à des valeurs discrètes et non des valeurs continues. Par exemple, la constante de Planck est associée à la fréquence (en Herz) d’un rayonnement et la constante de Boltzmann, kB, devrait être associée seulement à la valeur discrète du nombre de molécules dans une molécule-gramme, le nombre d’Avogadro et pas du tout avec le degré de T qui varie de manière continue. Il est absurde de vouloir associer kK, en joules, à la température T, qui est mesurée par une variation de volume, 1/100 de la variation de volume entre glace fondante et eau bouillante pour l’échelle de Celsius-Keeling, mais pas pour celles de Réaumur et de Fahrenheit. Pour résumer ce que je voudrais bien voir discuté par des plus forts que moi en math et en physique, voici mes propositions actuelles. https://tinyurl.com/yaz5b6ds et ici :
    https://tinyurl.com/y992nqca

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