Coronavirus : quelle ampleur pour l’épidémie ?

Dans le prolongement de mon interview dans Le Point, je me suis penché un peu plus sur les aspects mathématiques de l’épidémie de Covid-19. Cette dernière donne incontestablement à voir une peur exponentielle (le terme d’exponentielle a été souvent prononcé), avec ses excès et ses incompréhensions. L’exemple du coronavirus permet ainsi d’illustrer la mécanique d’une peur de ce type. L’analyse mathématique permet aussi d’évaluer le risque d’épidémie majeure (spoiler : il me semble très très faible), ainsi que de mettre au jour divers biais de présentation au sujet de la diffusion de la maladie.
Pour commencer cette série d’articles qui s’étalera sur la semaine, à tout seigneur tout honneur : place au modèle exponentiel pour analyser ce qui se passe en Chine, le pays d’où l’épidémie est partie étant l’endroit le plus important à considérer pour tenter comprendre.

Une épidémie comme celle qui a frappé en Chine peut tout d’abord se représenter de façon simple en supposant que chaque malade est susceptible de contaminer un certain nombre de personnes par unité de temps (disons la semaine, pour simplifier). En partant d’un cas initial au temps zéro, et en supposant par exemple un doublement du nombre de malades par semaine, le nombre de personnes infectées va progresser selon la suite des puissances de 2 :

1 2 4 8 16 32 64…

(NB : dans cette série d’articles on ne distinguera pas entre malades et simples porteur du virus ; ce qui nous intéresse ici est qu’un porteur est susceptible de transmettre le virus à d’autres personnes.)

Ce que cette croissance a de particulier (qui est expliqué en long et en large dans mon bouquin sur le sujet), c’est qu’elle est d’une rapidité extrême, alors même que les premières valeurs ne le laissent pas vraiment prévoir. Au rythme de l’exemple théorique précédent, il ne faudrait que 26 semaines, soit la moitié d’une année, pour que tous les habitants de la province du Huwei (58 millions de personnes) soient contaminés. Plus étonnant encore : un peu plus d’un mois plus tard toute la Chine serait atteinte, et à la fin du mois suivant la Terre entière.

La modélisation exponentielle requiert la connaissance de deux valeurs : le nombre a de personnes contaminées au temps zéro (ou, de façon équivalente, à un instant donné connu) et le facteur de croissance r à appliquer pour passer d’un temps au suivant. (Ce second facteur est la raison de la suite.) Dans l’exemple précédent on avait a=1 et r=2, mais en pratique ce sont les chiffres de l’épidémie ellle-même qui doivent permettre de les déterminer.

Pour r, c’est très simple sur le papier : il suffit de diviser le nombre de malades au temps n par le nombre de malades au temps n–1. Dans l’exemple théorique précédent, on calculerait ainsi 32/16, ou bien 64/32, etc. (ce qui donne bien toujours 2). La réalité montrera bien sûr des fluctuations, qui conduira à retenir pour r une valeur moyenne. Pour en venir à un exemple plus concret, voici un tableau récapitulatif des cas recensés quotidiennement en Chine pendant les deux premières semaines de l’épidémie (du 22 janvier au 4 février), ainsi que, sur la deuxième ligne, le rapport entre chaque valeur au-dessus et celle à sa gauche. On a ainsi 639/547 = 1,1682, puis 916/639 = 1,4335, et ainsi de suite. (Toutes les données utilisées dans cette série d’articles sont celles de l’université Johns Hopkins en accès libre ici, qui sont actualisées chaque jour.)

547	639	916	1399	2062	2863	5494	6070	8124	9783	11871	16607	19693	23680
	1,1682	1,4335	1,5273	1,4739	1,3885	1,9190	1,1048	1,3384	1,2042	1,2134	1,3990	1,1858	1,2025

(faire glisser à droite pour voir toutes les données du tableau)

Sans surprise, d’un jour à l’autre les rapports sur la seconde ligne fluctuent. Ils demeurent toutefois dans une fourchette relativement resserrée d’une manière générale, comme illustré ci-dessous où chaque croix rouge correspond à une des rapports :

Un compromis pour r est la valeur 1,336, qui s’obtient par un calcul de moyenne un peu particulier. (Pour les connaisseurs : il s’agit d’une moyenne géométrique, qu’on peut obtenir en calculant la racine treizième du quotient 23680/547.) Bien sûr, comme il s’agit d’une moyenne, il ne faut pas être surpris que r ne soit pas un entier.

Pour la valeur a, les choses sont paradoxalement un peu plus difficiles. D’abord, on ne connaît en général pas bien le nombre de malades au tout début de l’épidémie. De plus, les fluctuations statistiques font que la valeur de a, même bien connue, n’est pas forcément la meilleure à prendre pour faire coller les données au modèle exponentiel.

Nos valeurs de a et de r étant déterminées (j’ai retenu la valeur 650 pour a), on peut comparer le modèle exponentiel (la courbe rouge) aux données réelles (la ligne brisée verte) :

Pas trop mal, hein ? C’est là un beau succès du modèle exponentiel, au point qu’il est tentant de s’enhardir : puisqu’il décrit si bien les données du passé, pourquoi ne pas prolonger la courbe et ainsi prédire l’avenir ? C’est de cette idée que naît la peur exponentielle. En effet, en prolongeant la courbe inconsidérément vers l’avenir, on a tôt fait de contaminer la Chine, puis la Terre entière, en seulement quelques mois.

En supposant une mortalité de 1 % ou 2 % comme les données le suggèrent pour le coronavirus, ce serait ainsi 1 % ou 2 % de la population mondiale, c’est-à-dire plusieurs dizaines de millions de personnes, qui seraient susceptible de mourir du Covid-19 en quelques mois. Racontez cela en montrant des images d’hôpitaux débordés et de jeunes enfants malades : vous passerez pour un expert apeuré, c’est-à-dire quelqu’un de sérieux qui regarde en face sans broncher le cavalier de l’apocalypse. De quoi inspirer confiance les yeux fermés, donc…

Heureusement, dans la réalité les courbes exponentielles ne se prolongent jamais si longtemps. On s’en rend compte immédiatement en regardant ce qu’a été l’évolution du nombre de cas répertoriés en Chine (ligne brisée verte, ici jusqu’au 27 février).

Cette courbe montre les limites de l’intérêt de notre courbe exponentielle en rouge : non, le nombre de malades n’a pas « explosé » comme le prévoyait l’extrapolation naïve précédente. Une inflexion s’est rapidement produite, faisant complètement diverger le réel de son modèle.

Un élément notable dans la ligne brisée verte est le spectaculaire rebond qu’elle montre au jour 22. Celui-ci s’explique par un changement de méthodologie opéré ce jour-là par les autorités sanitaires chinoises dans leur façon de comptabiliser les malades. C’est l’occasion de rappeler qu’une série de données n’est pas une vérité révélée mais le produit d’un travail humain, donc toujours susceptible d’imperfections et de réinterprétations.

L’artefact de ce décrochage est toutefois secondaire dans la tendance générale au tassement. L’évolution est rassurante, et même très rassurante : le virus ne parvient plus vraiment à progresser en Chine. Certains médias ont beau en rajouter en signalant les « centaines de nouveaux cas quotidiens » en Chine, ceux-ci ne font que prolonger le ralentissement devenu très net depuis la mi-février.

Observer quelques centaines de cas supplémentaires un jour donné n’avait pas du tout le même sens, en revanche, au début de l’épidémie chinoise. En effet, à ce moment-là la question se posait de savoir sur quels rails exponentiels l’épidémie allait nous placer — et donc quel serait le niveau final à redouter. À présent toutefois, les choses sont bien différentes : non seulement les nouveaux cas chinois sont peu nombreux en regard des 80 000 cas répertoriés, mais ils montrent déosormais que le virus s’essouffle. Tempérons notre soupir de soulagement en nous souvenant que nous parlons d’individus qui souffrent et peuvent mourir, mais il n’en reste pas moins que, du point de vue général, les choses s’améliorent.

On peut regretter le caractère tardif des éléments de communication sur cet aspect. Celui-ci ne commence que maintenant à être rapporté ici ou là, et encore de façon fort discrète. Bien sûr, nul ne dispose d’une boule de cristal permettant d’être définitif sur ce qui va se passer, mais tout de même : l’inflexion de la courbe s’est amorcée au début du mois de février, et le tassement est lisible depuis près de deux semaines. Enfin, l’allure de la courbe est celle d’une fonction mathématique bien connue, utilisée depuis longtemps pour modéliser des phénomènes de ce genre. Si l’optimisme (prudent, comme tout optimisme) peut être de mise, c’est aussi parce qu’il semble bien que nous soyons ici en terrain mathématique connu. Rendez-vous demain pour la suite de son exploration.