La loi des aires

Dans le cadre de la semaine des mathématiques qui se déroule cette année sur le thème « Mathématiques et mouvements », voici une nouvelle vidéo enregistrée pour AuDiMATH (après celle-ci sur la célèbre formule e+1=0). Il s’agit cette fois d’une explication, due à Newton (et Feynman) de la deuxième loi de Kepler : « les planètes balaient des aires égales en des temps égaux« . Ce que cette démonstration a de remarquable, c’est sa grande simplicité, alors même qu’elle permet d’établir l’une des lois les plus révolutionnaires du début du XVIIe siècle.

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8 réflexions au sujet de « La loi des aires »

  1. si j’ai mien compris, :*
    – si le soleil perd de la masse (sans être accéléré lui même), la loi des aires est conservée ?
    – si la gravitation suit une loi non 1/r2 comme par exemple MOND, la loi des aires est conservée?

    par contre dans les 2 cas, la trajectoire ella, va changer?

    quelle famille de trajectoire respectent la loi des aires ?

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    • Oui, la masse du Soleil peut varier (elle peut même devenir négative si ça lui chante). La trajectoire changera, mais la loi des aires restera valable. 1/r2 ou autre : peu importe aussi.
      Les trajectoires qui satisfont à la loi des aires sont celles suivies par un corps soumis à une force à accélération centrale. Ça fait beaucoup, tellement même que je ne pense pas vraiment possible d’en faire une classification géométrique.

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    • La loi des aires est une conséquence de la conservation du moment cinétique. Ce dernier est conservé pour tout système dynamique dont l’énergie potentielle est invariante par rotation ; ceci s’applique à tout mouvement à force centrale arbitraire, dont celle dérivant du potentiel de Newton 1/r. (Mais, dans la nature, à l’échelle macroscopique y a pas des tonnes de lois de force!)

      Quelques précisions pour le mouvement à force centrale :
      -La conservation du moment cinétique implique une trajectoire plane et la loi des aires
      -La loi des aires est valable pour tout type de de trajectoire, y compris pour des trajectoires non fermées ou qui fichent le camp à l’infini ou s’effondrent sur le centre.
      -Seuls des potentiels attractifs en 1/r (si l’énergie totale E est négative) ou en r² conduisent à des trajectoires fermées stables.

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      • C’est effectivement élémentaire avec nos formalismes actuels utilisant le moment cinétique mais l’intérêt de la présentation est justement d’éviter tout intermédiaire de démonstration et de bien souligner le fait fondamental que les variations de vitesse (même pas besoin d’évoquer la quantité de mouvement qui a besoin de la notion de masse inerte) se font exclusivement sur l’axe radial entre les deux objets en interaction. Cela n’avait rien d’évident dans le contexte de l’époque et ce n’est d’ailleurs pas le cas de forces qui n’ont été comprises que bien plus tard. Les forces magnétiques par exemple sont perpendiculaires à la vitesse (et se replacer dans une géométrie où les forces électromagnétiques deviennent radiales n’est possible que par une transformation relativiste).
        Il est important de rappeler que les mathématiques ne sont qu’un outil de description de phénomènes physiques. On peut aussi faire de la physique avec peu de mathématiques, c’est même à mon avis une bonne façon pour se poser des questions fondamentales. Les novateurs en physique sont justement ceux qui oublient les réflexes scolaires (des notions dont la justification a souvent été oubliée pour ne garder que des recettes) et essaient de questionner les concepts les plus élémentaires.

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  2. N’étant ni physicien, ni matheux, comme vous savez ; mais ayant lu (et relu) récemment un livre de Chazal, philosophe des sciences, « Les femmes et la science », je voudrais bien savoir si votre excellente vidéo peut être rapprochée de « l’erreur » attribuée à Newton, concernant la proportionnalité (linéaire) de l’énergie gravitationnelle, M*v, au lieu de M*v^2, relevée et corrigée par Emilie du Chatelet, dans sa traduction de Principia Mathematica …

    Mes recherches et calculs récents sur la relation température / énergie cinétique me semblent du même ordre ; mais concerner plutôt le théorème de Thalès que « l’accélération de la pesanteur », comme on disait dans ma jeunesse. La relation de base de la thermodynamique, dite aussi loi des gaz parfaits ou d’Avogadro Ampère est souvent considérée comme la « preuve » de la relation linéaire entre degré de T et Q d’énergie cinétique sur toute la gamme de Kelvin.

    Or, cette loi, pour une mole et la pression atmosphérique =1at ; p*V = M*U^2 = NAvog*kBoltz*T, ne peut pas être linéaire puisque T est une variation de Volume spécifique alors que p et kB peuvent s’exprimer en joules (kgM*m^2*s^2). Il n’y a pas de relation linéaire entre deux grandeurs d’ordres ou de dimensions différents. D’ailleurs les valeurs de Résistance des thermomètres électriques correspondant aux valeurs entières de l’échelle de Kelvin peuvent être fournies par une formule de dimension 3.

    Il y a deux conséquences formidables.
    En climatologie, les moyennes d’anomalies sont des farces car plus les températures de la zone arctique sont basses et plus elles sont surestimées, les plantes ne se trompent pas, voir en Allemagne.
    En physique, la notion de zéro absolu à -273,5°C est absurde car il n’est pas possible de mesurer la chaleur « échangeable » avec la constante de d’ENTROPIE de Boltzmann. Ce dernier en fut la première victime en 1906, il se suicida. Heureusement, au début de cette année terrible il avait fait passer sa thèse à Lise Meitner qui découvrit la fission nucléaire et donc notre électricité atomique civile ; mais n’eut jamais le prix Nobel, ni 1944, avec son co-inventeur Otto Hann, ni après, jusqu’à son décès en Angleterre en 1968, je crois.

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    • Quand on va trop vite on fait des erreurs. Il manque un 3 dans la formule donnée ci-dessus, car il faut bien 3 calories pour élever la température d’un gaz parfait de un degré dans les conditions susdites donc : p*V = M*U^2 = NAvog*3 kBoltz*T, que l’on peut aussi écrire: 1/2 p*V = 1/2 M*U^2 = 3/2 NAvog*kBoltz*T,.

      Par définition, pour une Mole d’eau LIQUIDE entre 0 et 100°C, c’est 1 calorie par gramme et par degré, donc 18 calories par degré ; soit 6 fois moins sous la forme vapeur d’eau et arbitrairement compris sur toute la gamme de Kelvin.

      Ne trouvez-vous pas cela un peu étrange ? Comment l’expliquer ?

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