Le problème du scrutin – dénouement

Vous l’attendiez tous : le résultat de l’expérience grandeur nature du problème du scrutin que j’ai annoncée hier. 

D’abord, petite précision technique (facultative) : la formule d’hier pouvait se simplifier. Si deux candidats se partagent toutes les voix, il est évident que la somme de leurs pourcentages fait 100, et donc la probabilité (en pourcentage) que le vainqueur final soit en tête lors de tout le dépouillement est égale à p–q (pas besoin de diviser par p+q, donc). Bon, mais tout a un prix : il aurait été impératif d’appliquer préalablement le facteur ramenant les pourcentages du premier tour à 100%.

En pratique, nous avons, avec mes trois commensaux, dépouillé deux séries de bulletins. Eh ben croyez-le ou pas : les deux fois le premier bulletin a été celui du perdant. Cela m’a fait réfléchir sur un aspect particulier du problème : les chances qu’a le perdant de réussir à passer ponctuellement en tête se situent surtout au début du dépouillement. Sans faire trop de maths, on peut s’en rendre compte avec les données que j’ai présentées hier : le perdant, avec 36% des voix, a 71% d’être passé au moins une fois en tête. Considérons le tout premier bulletin dépouillé. Il a 36% de chances d’être pour le perdant. À la louche, donc (mais dans le détail les choses sont plus compliquées), la moitié des chances qu’il a d’avoir pu prendre la tête se joue sur ce premier bulletin. C’est ce qui s’est passé hier. Comme quoi on n’a pas voté pour rien.