Le problème du scrutin

Ce soir, je vais peut-être pouvoir tester en conditions réelles un problème mathématique classique de théorie des probabilités : dans une élection où s’affrontent deux candidats, calculer la probabilité que le vainqueur reste en tête durant tout le dépouillement.

Vous l’avez compris, je me suis porté volontaire pour faire le dépouillement dans mon bureau de vote en cette journée de second tour des élections législatives françaises. Comme ce sera la première fois, je n’ai qu’une idée imprécise des conditions matérielles exactes, mais il ne s’agira évidemment pas de traiter du problème du scrutin pour la circo complète, et sans doute même pas de mon bureau de vote entier (à cause du dépouillement simultané), mais seulement de la partie qui me concerne.

Pas grave : la formule qui donne la probabilité cherchée est invariante d’échelle : on peut l’appliquer sans connaître le nombre de votants, il suffit de connaître le pourcentage obtenu par chacun des deux concurrents. Plus précisément, si le vainqueur l’emporte avec p % des voix et que le vaincu doit se contenter des q % restants (avec, donc, p+q = 100), alors la probabilité que le vainqueur reste en tête tout au long du dépouillement est égale à (pq)/(p+q). La démonstration utilise le très joli principe de réflexion, à la fois très intuitif et très profond (je me souviens encore de mon émerveillement la première fois que j’en ai entendu parler, dans un cours sur le mouvement brownien). Vous la trouverez par exemple expliquée sur Bibmath (niveau requis : lycée, filière scientifique).

Quand je suis allé voter, les assesseurs m’ont dit qu’ils s’attendaient à une abstention encore plus forte qu’au premier tour, alors même que seul un tiers des électeurs de ce bureau de vote s’y sont déplacés la semaine dernière. Je tire argument de cette faible mobilisation pour faire l’hypothèse que seuls les électeurs du premier tour ayant eu leur candidat qualifié se déplaceront à nouveau. D’une part, cela évite les savants et hasardeux calculs de reports de voix, notamment celles des candidats dits « Divers ». D’autre part, et je ne m’en suis rendu compte qu’après coup, cela permet d’utiliser directement les valeurs 45% et 25% dans la formule, sans avoir à les convertir préalablement en pourcentages de second tour (où les 45% du premier pourraient devenir (45/(45+25))x100=64% et les 25% du second (25/(25+45))x100=36%).

Avec ces hypothèses, la probabilité pour le vainqueur de faire la course en tête lors d’un dépouillement, partiel ou total, s’évalue à (45–25)/(45+25)=20/70, soit environ 29%.

Un bureau de vote regroupe en principe entre 800 et 1000 électeurs. Si un petit tiers se déplace, cela devrait donc faire environ 300 enveloppes à ouvrir, qui, selon ce que j’ai lu, se partagent par paquets de 100, d’où trois dépouillements partiels. Chacun d’eux aura une probabilité de 29% de voir le vainqueur rester toujours en tête (en supposant que les votes de chaque paquet soient à peu près homogènes), soit environ une chance sur trois.

Le plus probable est donc que le vainqueur fera la course en tête dans l’un des trois dépouillements partiels du bureau, les deux autres montrant au moins une fois le vaincu en position de force.

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2 réflexions au sujet de « Le problème du scrutin »

  1. Le dépouillement se passe de la façon suivante.
    Tout d’abord les urnes sont ouvertes et les bulletins regroupés par paquets de 100.
    Puis on forme des tables avec 4 scrutateurs. Elles reçoivent des paquets de 100 bulletins. Deux d’entre eux disposent d’une liste des candidats où ils ajoutent une barre à chaque voix. Un autre ouvre les enveloppes et montre le bulletin bien en évidence, l’autre annonce le choix porté sur le bulletin à haute voix (nom du candidat ou bien blanc, nul). Ce n’est pas compliqué, mais il faut rester concentré pour savoir où l’on en est à chaque instant et éviter les erreurs. Cela ne laisse pas de temps pour des activités annexes. Je crois que tout citoyen, scrutateur ou nom, peut demander à assister au dépouillement.

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