JO 2016 : jour 11, des boucles et Le Théorème

La version des JO du paradoxe de Condorcet. Merci à Yanarthus de ne pas avoir rappelé l’échec, misérable bien que programmé, du modèle de MM&M pour les poules qualificatives de l’Euro 2016…

JO 2016 : jour 11, des boucles et Le Théorème

par Yanarthus

Finalement il n’y a pas eu besoin de règle à calcul pour déterminer les quatre premiers de la poule de l’équipe de France masculine de volley-ball. Comme on s’y attendait, les États-Unis ont nettement battu le Mexique (3-0) ; comme on le craignait, le Canada a battu l’Italie (3-1). Les données avant le match Brésil – France étaient donc simples : le vainqueur serait qualifié, le perdant serait éliminé.

Malgré un très beau match dans une ambiance hostile, l’équipe de France s’est inclinée et ne se qualifie donc pas pour la suite de la compétition. On peut dire qu’en perdant de façon a priori étonnante leur dernier match contre le Canada, Zaytsev et ses coéquipiers italiens ont éliminé l’équipe de France.

Différents types de poules

Observons de plus près ces phases de poules dans les trois sports collectifs de ballon (handball, volley-ball, basket-ball) où les formules sont identiques : deux groupes de six équipes dont les quatre premiers sont qualifiés, matches nuls impossibles en volley-ball et basket-ball, possibles mais rares en handball. Cela fait en tout douze poules à analyser (compétitions féminine et masculine).

En étant un peu naïf, on pourrait s’imaginer qu’il règne un « ordre total » dans ces championnats : le premier bat tous les autres, le deuxième perd contre le premier mais bat les autres et ainsi de suite jusqu’au dernier qui ne bat personne. En fait, cette situation s’est certes produite quatre fois sur les douze poules (basket masculin A, basket féminin B, deux poules du volley féminin) mais il y a souvent eu des « irrégularités ».

Inversement, la situation la plus homogène possible serait celle avec trois équipes à trois victoires et trois équipes à deux victoires. C’est presque ce qui s’est produit en poule B du basket masculin, avec quatre équipes à trois victoires, une équipe à deux victoires et une équipe à une victoire.

On trouve aussi les situations intermédiaires où une équipe domine tous ses adversaires qui se battent entre eux (hand féminin B), ou bien où une équipe (dite « la banque de points ») perd contre toutes les autres (hand féminin A, volley masculin B) mais où il y a des « irrégularités » dans le reste du classement.

On peut essayer de quantifier ces « irrégularités », par exemple grâce à l’écart-type de la distribution du nombre de victoires des six équipes de la poule. Plus on est proche d’une situation « d’ordre total », plus l’écart-type est élevé puisqu’il existe de grandes différences de niveau entre les équipes. Plus subtil, on peut aussi compter les « boucles » : j’appelle boucle une situation où l’équipe A bat l’équipe B qui bat l’équipe C qui bat l’équipe A (on peut bien sûr imaginer des boucles impliquant plus de trois équipes). Chaque boucle correspond à un « résultat surprenant » qui éloigne de la situation d’ordre total. Par exemple, il y a une unique boucle dans la poule B du volley masculin : l’Argentine a battu la Russie qui a battu la Pologne qui a battu l’Argentine, le reste est « cohérent ».

Revenons à la poule A du volley masculin, celle de l’équipe de France. Le fait que la poule soit très serrée indique qu’il y a des boucles : par exemple, la France a battu le Canada qui a battu les États-Unis qui ont battu la France ; l’Italie a battu le Brésil qui a battu le Canada qui a battu l’Italie. Dans une situation d’ordre total, battre exactement deux autres équipes garantit d’être quatrième (et qualifié) mais s’il y a des boucles, la situation peut être moins favorable lorsqu’une des équipes battues est engagée dans une boucle. Pour la France, c’est le cas avec le Canada et ses deux victoires « inattendues » contre les États-Unis et l’Italie…

Plus le nombre d’équipes engagées dans la poule est élevé, plus le décompte du nombre de boucles est complexe : dans une poule de six équipes, afin de ne pas compter deux fois des boucles « imbriquées les unes dans les autres », il y a déjà probablement besoin d’un mathématicien, dans un championnat à 18 équipes (championnat de France de Pro A en basket, par exemple) : il y a besoin de mieux qu’un mathématicien : une règle à calcul un ordinateur.

Sportivement, ces boucles correspondent souvent à un résultat inattendu : dans la boucle A bat B qui bat C qui bat A, il y a un résultat « illogique ». Sans plus d’information, cela peut être n’importe lequel des trois matches de la boucle : il suffit d’inverser un (et un seul) résultat pour retrouver un ordre total.

Deux boucles de sinistre mémoire

Bien entendu, il existe souvent des soupçons d’arrangements avec l’éthique sportive lorsqu’une boucle se produit et qu’un résultat précis (souvent celui qui se produit en dernier, chronologiquement, dans la boucle) paraît « louche ». Dans un esprit très olympique, on a ainsi déjà vu une équipe faire exprès de perdre son dernier match de poule pour bénéficier d’un tableau supposément plus favorable ensuite.

Mais la boucle la plus célèbre de l’histoire du sport s’est produite pendant La Coupe du Monde (1982, s’entend). L’Algérie, l’Autriche, le Chili et la RFA étaient dans la poule C, les deux premiers étaient qualifiés pour la suite de la compétition. Le Chili a perdu ses trois matches et tout s’est donc joué entre les trois autres. Dans le premier match de la poule, l’Algérie créait une énorme surprise en battant la RFA (2-1) avant de perdre (2-0) son match contre l’Autriche. Le dernier match de la poule opposait la RFA à l’Autriche et les deux équipes savaient alors qu’une victoire de l’Allemagne par un ou deux buts d’écart était la seule façon d’assurer la qualification des deux. À la dixième minute, l’allemand Hrubesch marqua l’unique but de la rencontre puis il ne se passa plus rien du tout, aucune équipe ne cherchant à marquer ou ne prenant la peine de faire semblant… Victoire de l’Allemagne créant une boucle et entraînant l’élimination de l’Algérie à la différence de buts. Depuis ce match honteux, les deux derniers matches des poules de Coupe du Monde sont disputés simultanément afin d’éviter ce type d’arrangement.

Il y a une vie après les poules

Une fois la phase de poules terminée, on entre dans la phase de coupe avec matches à élimination directe, au cours de laquelle des équipes qui s’étaient déjà affrontées dans leur poule peuvent se rencontrer à nouveau. C’est d’autant plus probable aux Jeux Olympiques qu’il n’y a que deux poules, qualifiant quatre équipes chacune.

Et au cours de cette phase de coupe, il y a un théorème, tellement important qu’il s’appelle Le Théorème.

Le Théorème Lorsque deux équipes qui se sont affrontées en phase de poule se rencontrent à nouveau lors de la phase de coupe conduisant à la médaille d’or, le vainqueur du match de coupe est le perdant du match de poule.

 

Démonstration :

• Rugby à VII masculin : lors du dernier match de la poule B, l’Australie a battu l’Afrique du Sud 12-5. Ces deux équipes se sont retrouvées lors de leur premier match de la phase de coupe (il n’y a que le rugby pour offrir une absurdité pareille : deux équipes issues de la même poule qui s’affrontent lors du premier match de coupe, n’importe quoi !) et l’Afrique du Sud s’est imposée 22-5
• Football féminin : lors de leur match de la poule E, le Brésil a battu la Suède 5-1 ; en demi-finale du tournoi, la Suède a éliminé le Brésil aux tirs au but. Lors de leur match de la poule F, le Canada a battu l’Allemagne 2-1 ; en demi-finale du tournoi, l’Allemagne s’est imposée 2-0.

CQFD

Remarque : les hypothèses de Le Théorème stipulent bien « phase de coupe conduisant à la médaille d’or ». En match de coupe « consolante » entre équipes éliminées du tournoi principal, le résultat du match de poule est en général confirmé, cf résultats des équipes de France féminine et masculine.

Conséquence : l’équipe de France féminine de handball a effectué un réjouissant travail de salubrité publique en quart de finale mais son sort semble malheureusement scellé pour la demi-finale…

Classement des médailles après la onzième journée :

1. États-Unis 607
2. Royaume-Uni 366
3. Chine 322
4. Russie 250
5. France 206
6. Allemagne 198
7. Japon 175
8. Italie 153
9. Australie 140
10. Corée du Sud 122

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