Comment atteindre 61 689 600 ?

Voici une question sur laquelle les lecteurs auront peut-être des lumières à m’apporter.

C’est sans doute ne pas s’avancer beaucoup que de supposer que personne ou presque n’a jamais entendu parler de Jean Leurechon. (C’est d’ailleurs à mon avis fort dommage, mais ce n’est pas le sujet.) À ce jésuite est attribué un livre intitulé Récréation mathématicque, initialement paru en 1624 puis réédité et traduit tout au long du XVIIe siècle (on le trouve facilement sur internet, par exemple ici).

Si Albrecht Heeffer (université de Ghent), qui prépare une nouvelle édition en anglais de ce livre, lit ces quelques lignes, il est probable qu’il s’étrangle car, selon lui, c’est improprement que la Récréation est attribuée à Leurechon : son véritable auteur serait Jean Appier Hanzelet (tout aussi inconnu d’ailleurs, si ce n’est plus). Il reste que les considérations de la Récréation mathématicque qui vont nous concerner s’inspirent très largement de celles d’un ouvrage de deux ans antérieur, les Selectæ propositiones, qui est bel et bien de Leurechon. (En tout état de cause, il serait anachronique de parler de plagiat, la notion de propriété intellectuelle au XVIIe siècle ayant peu à voir avec la nôtre.) Va pour Leurechon-Hanzelet, et n’en parlons plus.

Dans un passage de la Récréation, Leurechon-Hanzelet s’amuse(nt ?) avec des modèles démographiques fondés sur des suites géométriques, c’est-à-dire dans lesquels le nombre d’individus de chaque nouvelle génération s’obtient en multipliant par un facteur r (constant) le nombre d’individus de la génération précédente. Étant donné que les suites géométriques ont pour propriété de croître très vite, c’est un jeu amusant que de remplir la Terre avec des grains de moutarde ou des cochons en seulement quelques années.

Ce point de vue est extrêmement intéressant et moderne à beaucoup d’égards (je vous en reparlerai peut-être une prochaine fois). Mais il y a tout de même un petit défaut dans le texte : beaucoup des calculs sont incorrects. C’est vrai que pour nous autres, avec nos logiciels de calcul, la critique est facile : essayez donc de calculer à la main 3012, de diviser le résultat par 503, et enfin de diviser par 4… (Vous trouvez 1 062 882 000 000 ? Alors bravo, je m’incline.)

Traquer les erreurs n’a pas pour but de mettre une mauvaise note à Leurechon-Hanzelet, mais de comprendre les détails dans la conception du texte. Par exemple, il arrive qu’un calcul soit juste et que le résultat soit mal recopié (c’est le cas pour la valeur 1 060 882 000 000 qui apparaît correctement dans les Selectæ mais est altérée en 10 608 882 000 000 dans la Récréation). On peut en revanche démontrer la présence d’une vraie faute de calcul lorsqu’on observe qu’une valeur incorrecte est réutilisée dans des calculs ultérieurs.

Bref, il s’agit de faire comme un enseignant qui, constatant une faut dans la copie d’un élève, tente d’en cerner l’origine. Et il y a au moins un cas dans la Récréation pour lequel je ne comprends vraiment pas ce qui a pu se passer. L’énoncé concerné est on ne peut plus simple (pour ceux qui veulent vérifier, il est en page 114 du lien donné ci-dessus) : on part de 100 brebis, chaque brebis en produit une autre chaque année, et l’on se demande combien il y en aura au bout de 16 ans (les brebis ne meurent pas). Il s’agit donc de calculer 100×216, ce qui donne 6 553 600.

Problème : le texte donne, lui, la valeur 61 689 600, qui est tout de même fort différente. D’où la question : comment se tromper dans le calcul de 100×216 de sorte à obtenir 61 689 600 ?

Pour calculer 216, le plus simple est d’effectuer 256×256, car 28×28 = 216 et 28 = 256. (Des variantes sont bien entendu possibles, par exemple 32×32×32×32, ou même une multiplication par 2 répétée seize fois.) Pourtant, en posant le calcul, on ne voit pas quel oubli de retenue, ou quelle mauvaise utilisation des tables de multiplication, pourrait produire une telle erreur — le plus étrange étant que le résultat soit faux d’un facteur dix.

La décomposition en facteurs premiers de 616 896 est 26×34×119×17. Le gros exposant du 2 suggère une erreur relativement tardive dans le calcul, et ne portant que sur les premiers chiffres significatifs. L’exposant du 3 a l’air un peu trop gros pour être honnête, mais peut-être doit-on appliquer la présomption d’innocence et supposer qu’il n’est là que par hasard. Quant au 119, il donne l’impression d’être venu faire un petit coucou juste comme ça. (Non, non, 119 n’est pas premier, merci Christophe.)

Des idées ?

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7 réflexions au sujet de « Comment atteindre 61 689 600 ? »

  1. Ce calcul erroné (avec bien d’autres exemples douteux), donné en 1627 à la p. 196 dans son ouvrage de « Récréation mathématique » par Jean Leurechon, se trouve aussi à la p. 29 de la proposition 6 du chapitre VII du Livre de Mathématiques dans cet ouvrage de 1650 de Gerardi Ioannis Vossii (Gerhard Johann Vossius), mais le contexte y est peut-être un peu différent… :
    https://books.google.ch/books?id=la0K3u9cb8UC&pg=RA2-PA29&lpg=RA2-PA29&dq=61,689,600&source=bl&ots=3RxYY8iUyQ&sig=7f0SY0CQ7Aci3Hw6YoRqFp5O_Vw&hl=fr&sa=X&ei=-aTTVKzzF5X1at64gsAB&ved=0CEIQ6AEwBjgU#v=onepage&q=61%2C689%2C600&f=false

    Ce nombre a pourtant quelques propriétés remarquables :
    http://www.numbersaplenty.com/61689600

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  2. Bonjour,

    Une explication qui vaut ce qu’elle vaut… hein !

    Il a commencé à compter sur ses doigts de la main et s’est donc arrêté à 2^3=8

    Puis il a pris son parchemin avec sa plume d’oie en commençant par 8×2=16 jusqu’à 512*2=1024 soit 7 opérations… mais il était en bas de son parchemin…

    Donc il a recopié le résultat en haut dans une nouvelle colonne… mais il s’est trompé et à recopié 1204 au lieu de 1024…

    8) 1204*2 = 2408
    9) 2408*2= 4816
    10) 4816*2= 9632

    Là, c’était l’heure de la soupe…

    En revenant achever son calcul il a pris le 2 pour un 9 (en ce temps là c’était courant puisqu’on ne faisait pas le retour du 2… surtout quand c’était l’heure de la soupe)

    Donc son 9632 est devenu 9639

    11) 9639*2 = 19278
    12) 19278*2=38556
    13) 38556*2= 77112
    14) 77112*2= 154224
    15) 154224*2= 308448
    16) 308448*2= 616896

    Voilou, il a fait 16 opérations en oubliant qu’il en avait fait 3 en comptant sur ses doigts… donc ce dont on peut être sûr c’est qu’il avait au moins 8 doigts… 😉

    Historiquement certifié par le Groupement International des Experts Comptables.

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  3. Je n’ai rien trouvé de bien convaincant, mais je vous le soumet quand même
    Quand on pose 256*256 on a (avec des « _ » à la place des espaces parce que je crains beaucoup la mise en page de wordpress)
    __2_5_6
    x_2_5_6
    ———
    ___1_5_3_6
    _1_2_8_0_-
    _5_1_2_-_-

    Si on pose vraiment mal ces chiffres, à supposer qu’on soit pressé et qu’on écrive sur un coin de feuille très sale, on pourrait voir ça comme ça :

    ___1__5____3__6
    _1__2___8_(4)
    _5____1____2
    ———————
    _6_1__6_8__9__6

    Bon, ok, je suis assez peu convaincu moi meme, il faut oublier un 2, transformer un zero en 4, et avoir les yeux qui se croisent pour confondre toutes les colonnes …

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