Le négligeable n’est pas l’impossible

À l’occasion d’un colloque interdisciplinaire, j’ai eu l’occasion de constater une nouvelle fois la difficulté qu’il y a à faire accepter à un public non averti que, en théorie des probabilités, un événement peut-être possible bien que de probabilité nulle.

L’exemple que j’utilise habituellement pour illustrer cet apparent paradoxe est celui d’une fléchette ponctuelle lancée au hasard sur une cible (disons circulaire) d’aire 1. En général, tout le monde accepte sans problème l’idée que, si la fléchette est lancée vraiment au hasard, alors la probabilité d’atteindre une zone quelconque fixée est égale à l’aire de cette zone. Puisqu’un point définit une zone d’aire nulle, sa probabilité d’être touché est donc nulle elle aussi. Or une fois la fléchette lancée, il faut bien qu’elle finisse sa course sur un certain point. Ce point, qui est donc atteint, avait pourtant, comme tous les autres, une probabilité nulle de l’être.

Selon mes observations, les objections que ce raisonnement suscite sont de deux ordres :

1) une contestation de la nullité de la probabilité à l’aide d’un recours à une proto-analyse non standard (la probabilité d’atteindre un point donné ne serait pas nulle mais « infiniment petite ») ;

2) une contestation de la légitimité de parler d’une fléchette ponctuelle au sujet d’une expérience physique.

Bien entendu, ces deux obstacles sont de nature très différente. Le premier concerne la perception de ce que c’est qu’un nombre, et c’est un argument mathématique qui permet de le surmonter : supposons que la probabilité d’un point soit minuscule, par exemple d’un milliardième ; puisque la cible contient une infinité de points, prenons-en un milliard plus un ; cela définit une zone dont la probabilité est égale à (un milliard plus un) fois un milliardième, qui vaut plus que 1. L’argument est simple et imparable, même si son pouvoir de conviction est sans doute un peu faible (et je passe ici sur le fait qu’il peut conduire à proposer de sommer les probabilités nulles de tous les points et donc suggérer que la probabilité de la cible entière serait elle-même nulle, nous embarquant dans de lourdes explications sur la notion d’infini non dénombrable). Le fait est que, le plus souvent, cette contestation de la nullité de la probabilité de chaque point cède vite la place à la seconde objection, intellectuellement plus délicate, qui relève de la difficulté à accepter que l’idéalisation mathématique oblige parfois à s’extraire des objets physiques dont elle est (au moins en partie) issue. Or le public universitaire auquel je m’adressais était évidemment tout à fait capable d’abstraction, et comprenait fort bien que, par exemple, les propriétés géométriques des cercles font sens bien qu’elles se formulent avec d’abstraits cercles sans épaisseur. L’on peut donc supposer, même si ce n’est là qu’une idée un peu gratuite, que ces deux objections ne sont en réalité qu’accidentelles, au sens où elles pourraient n’être que les boucliers les plus immédiats et les plus commodes dont on se saisit pour se protéger du paradoxe.

Quoi qu’il en soit, l’ami Lebesgue, fondateur de la théorie mathématique de la mesure, a décidément franchi un obstacle épistémologique considérable en formalisant la notion d’ensemble négligeable. En a-t-on vraiment mesuré toute la portée extra-mathématique ? Je serais très intéressé par des références et des idées sur la question.

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3 réflexions au sujet de « Le négligeable n’est pas l’impossible »

  1. ca me rapelle une évidence d’ingénieur que les numéricen commencent à programmer.
    (hors les entiers, les booleans…) il n’y a pas de zéro.

    toute quantité est imprécise, toute différence n’est pas exactement nulle, sauf à être une totologie, une simplifications de l’équation (et encore… dire la distance avec moi même est nulle n’a pas grand sens physique dans un monde ou tout bouge, tout a une taille, et la mesure prend du temps)…

    plus concrètement j’ai découvert une notion pratique pour les informaticiens du numérique, utilisé en météo : le zéro stochastique.
    l’outil CADNA en son temps était super pour faire des calculs raisonnablement approximatifs (sans exagérer comme les arithmétiques d’intervales)
    http://www-pequan.lip6.fr/cadna/

    tout nombre est un intervalle, et toute opération produit un intervalle fuit de deux opération faite en deux au hasard des opérandes (et pas le min,max)… là ou ça se corse c’est quand on prend des décisions…
    est-ce supérieur à zéro, est-ce supérieur, implique d’exclure ou pas le cas ou il y a une double réponse possible… un zéro stochastique c’est quand on peu dire qu’on est plus grand ou plus petit que zéro… en même temps…
    marrant pour un programmeur, mais qui permet étrangement de se poser de vrais bonnes questions fasse aux résultats faussement précis, aux fonctions absurdement incohérence face a un zéro stochastique…

    il parrait que c’est a l’origine de l’indice de confiance… à vérifier…
    pouvoir dire qu’une simulation produit n’importe quoi, du zéro stochastique généralisé, ça permet d’éviter de prendre une décision précise sur un résultat sans valeur.
    se rendre compte qu’on a du mal a gérer les zéro stochastique ca révèle aussi souvent une erreur de modélisation….

    tout chiffre, tout point, est un distribution plus ou moins étroite…
    celui qui n’en tient pas compte vit au pays des fées.

    Je crois aussi qu’il y a des arithmétiques quantiques fractales ou le facteur d’échelle est un paramètre… j’ai pas tout compris, …

    de quoi décoiffer un comptable.

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  2. A mon avis, pour convaincre aisément qu’un infiniment faible peut être strictement égal à zéro, il est possible de rappeler que 1 – 0,999999… (à l’infini) vaut exactement zéro. La démonstration a le mérite d’être triviale et ne mènera à aucune contestation d’ordre physique comme avec les fléchettes !

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    • Coïncidence (ou pas, d’ailleurs), j’ai justement étudié avec un collègue didacticien cette affaire de 1-0,9999… Il se trouve que c’est loin d’être simple. D’abord, donner une démonstration n’est, en vrai, pas si trivial que ça (à moins, comme on le fait souvent, de tricher en étendant l’utilisation des algorithmes d’addition et de multiplication à des nombres avec une infinité de chiffres sans se préoccuper de le justifier). Ensuite, il y a une très forte résistance psychologique à l’idée qu’un même nombre puisse s’écrire de deux façons différentes. J’ai observé le cas même avec des étudiants en master 1 de maths pures, c’est dire…

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